Δυναμική κινηματική: κίνηση σε ένα αεροπλάνο

Αυτό το άρθρο σκιαγραφεί τις θεμελιώδεις έννοιες που είναι απαραίτητες για την ανάλυση της κίνησης αντικειμένων σε δύο διαστάσεις, ανεξάρτητα από τις δυνάμεις που προκαλούν την επιτάχυνση. Ένα παράδειγμα αυτού του είδους προβλήματος θα ήταν να ρίξει μια μπάλα ή να πυροβολήσει ένα cannonball. Υποθέτει μια εξοικείωση με μονοδιάστατη κινηματική, καθώς επεκτείνει τις ίδιες έννοιες σε ένα δισδιάστατο διανυσματικό χώρο.

Η κινηματική περιλαμβάνει τη μετατόπιση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση που είναι όλα διανυσματικών ποσοτήτων που απαιτούν τόσο μέγεθος όσο και κατεύθυνση. Επομένως, για να ξεκινήσετε ένα πρόβλημα στη δισδιάστατη κινηματική, πρέπει πρώτα να ορίσετε το σύστημα συντονισμού χρησιμοποιεις. Γενικά θα είναι από άποψη ενός Χ-αξία και α y-αξέος, προσανατολισμένη έτσι ώστε η κίνηση να είναι προς τη θετική κατεύθυνση, αν και μπορεί να υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις όπου αυτό δεν είναι η καλύτερη μέθοδος.

Στις περιπτώσεις όπου εξετάζεται η βαρύτητα, είναι σύνηθες να κάνουμε την κατεύθυνση της βαρύτητας στην αρνητική-

Το διάνυσμα θέσης r είναι ένας φορέας που πηγαίνει από την προέλευση του συστήματος συντεταγμένων σε ένα δεδομένο σημείο στο σύστημα. Η αλλαγή στη θέση (Δr, προφέρεται "Δέλτα r") είναι η διαφορά μεταξύ του σημείου εκκίνησης (r₁) στο τελικό σημείο (r₂). Ορίζουμε το μέση ταχύτητα (v_av) όπως και:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Λαμβάνοντας το όριο ως Δt προσεγγίζει 0, επιτυγχάνουμε το στιγμιαία ταχύτηταv. Σε όρους λογισμού, αυτό είναι το παράγωγο του r σε σχέση με t, ή ρεr/dt.

Καθώς μειώνεται η χρονική διαφορά, τα σημεία έναρξης και λήξης κινούνται πιο κοντά. Δεδομένου ότι η κατεύθυνση του r είναι η ίδια κατεύθυνση με v, γίνεται σαφές ότι ο στιγμιαίος φορέας ταχύτητας σε κάθε σημείο της διαδρομής είναι εφαπτόμενος στην διαδρομή.

Το χρήσιμο χαρακτηριστικό των διανυσματικών ποσοτήτων είναι ότι μπορούν να διασπαστούν στους φορείς τους. Το παράγωγο ενός φορέα είναι το άθροισμα των συστατικών του παραγώγων, ως εκ τούτου:

v_Χ = dx/dt
v_y = dy/dt

Το μέγεθος του διανύσματος ταχύτητας δίνεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στη μορφή:

|v| = v = sqrt (v_Χ² + v_y²)

Η κατεύθυνση του v είναι προσανατολισμένη άλφα βαθμούς αριστερόστροφα από το Χ-component και μπορεί να υπολογιστεί από την ακόλουθη εξίσωση:

ηλιοκαίω άλφα = v_y / v_Χ

Επιτάχυνση είναι η αλλαγή της ταχύτητας σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Παρόμοια με την παραπάνω ανάλυση, διαπιστώνουμε ότι είναι Δv/Δt. Το όριο αυτό ως Δt οι προσεγγίσεις 0 αποδίδουν το παράγωγο του v σε σχέση με t.

Όσον αφορά τα συστατικά, ο φορέας επιτάχυνσης μπορεί να γραφεί ως:

ένα_Χ = δι_Χ/dt
ένα_y = δι_y/dt

ή

ένα_Χ = ρε²Χ/dt²
ένα_y = ρε²y/dt²

Το μέγεθος και η γωνία (που δηλώνεται ως βήτα να διακρίνει από άλφα) του διάνυσμα της καθαρής επιτάχυνσης υπολογίζονται με τα συστατικά κατά τρόπο παρόμοιο με εκείνους για την ταχύτητα.

Συχνά, η δισδιάστατη κινηματική συνεπάγεται τη θραύση των σχετικών φορέων Χ- και y, και στη συνέχεια να αναλύσει κάθε ένα από τα συστατικά σαν να ήταν μονοδιάστατες περιπτώσεις. Μόλις ολοκληρωθεί αυτή η ανάλυση, τα συστατικά της ταχύτητας και / ή της επιτάχυνσης στη συνέχεια συνδυάζονται μαζί για να ληφθούν οι προκύπτοντες δισδιάστατοι φορείς ταχύτητας και / ή επιτάχυνσης.

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να επεκταθούν για κίνηση σε τρεις διαστάσεις προσθέτοντας a z-μεταφορά στην ανάλυση. Αυτό είναι γενικά αρκετά διαισθητικό, αν και πρέπει να ληφθεί μέριμνα ώστε να γίνει αυτό με τη σωστή μορφή, ειδικά όσον αφορά τον υπολογισμό της γωνίας προσανατολισμού του φορέα.

Επεξεργάστηκε από Anne Marie Helmenstine, Ph. D.