Υπολογισμός της μέσης απόλυτης απόκλισης

Υπάρχουν πολλές μετρήσεις διάδοσης ή διασποράς στις στατιστικές. παρόλο που το εύρος και τυπική απόκλιση χρησιμοποιούνται συχνότερα, υπάρχουν και άλλοι τρόποι ποσοτικοποίησης της διασποράς. Θα εξετάσουμε τον τρόπο υπολογισμού της μέσης απόλυτης απόκλισης για ένα σύνολο δεδομένων.

Αρχίζουμε με τον ορισμό της μέσης απόλυτης απόκλισης, η οποία επίσης αναφέρεται ως η μέση απόλυτη απόκλιση. Ο τύπος που εμφανίζεται με αυτό το άρθρο είναι ο τυπικός ορισμός της μέσης απόλυτης απόκλισης. Μπορεί να είναι πιο λογικό να θεωρήσουμε αυτόν τον τύπο ως διαδικασία ή σειρά βημάτων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να λάβουμε στατιστικά στοιχεία.

1. Ξεκινάμε με ένα μέσο όρο ή μέτρηση του κέντρου, ενός συνόλου δεδομένων, το οποίο θα υποδείξουμε Μ.
2. Στη συνέχεια, θα διαπιστώσουμε πόσο αποκλίνει κάθε τιμή δεδομένων Μ. Αυτό σημαίνει ότι λαμβάνουμε τη διαφορά μεταξύ κάθε τιμής δεδομένων και Μ.
3. Μετά από αυτό, παίρνουμε το απόλυτη τιμή της κάθε διαφοράς από το προηγούμενο βήμα. Με άλλα λόγια, αφήνουμε οποιαδήποτε αρνητικά σημάδια για οποιαδήποτε από τις διαφορές. Ο λόγος για αυτό είναι ότι υπάρχουν θετικές και αρνητικές αποκλίσεις από
   instagram viewer
   Μ. Εάν δεν βρούμε έναν τρόπο να εξαλείψουμε τα αρνητικά σημάδια, όλες οι αποκλίσεις θα ακυρωθούν το ένα το άλλο εάν τις προσθέσουμε μαζί.
4. Τώρα προσθέτουμε όλες αυτές τις απόλυτες τιμές.
5. Τέλος, διαιρούμε αυτό το ποσό από n, που είναι ο συνολικός αριθμός των τιμών δεδομένων. Το αποτέλεσμα είναι η μέση απόλυτη απόκλιση.

Υπάρχουν πολλές παραλλαγές για την παραπάνω διαδικασία. Σημειώστε ότι δεν διευκρινίσαμε ακριβώς τι Μ είναι. Ο λόγος για αυτό είναι ότι θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια ποικιλία στατιστικών για Μ. Συνήθως αυτό είναι το κέντρο του συνόλου δεδομένων μας και έτσι μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε από τις μετρήσεις της κεντρικής τάσης.

Οι πιο συνηθισμένες στατιστικές μετρήσεις του κέντρου ενός συνόλου δεδομένων είναι ο μέσος όρος, διάμεσος και τη λειτουργία. Επομένως, οποιοδήποτε από αυτά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως Μ στον υπολογισμό της μέσης απόλυτης απόκλισης. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι συνηθισμένο να αναφερόμαστε στη μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με τη μέση ή μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με το διάμεσο. Θα δούμε αρκετά παραδείγματα για αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάμε με το ακόλουθο σύνολο δεδομένων:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Ο μέσος όρος αυτού του συνόλου δεδομένων είναι 5. Ο παρακάτω πίνακας θα οργανώσει την εργασία μας στον υπολογισμό της μέσης απόλυτης απόκλισης σχετικά με τον μέσο όρο.

Τώρα διαιρούμε αυτό το ποσό κατά 10, δεδομένου ότι υπάρχουν συνολικά δέκα τιμές δεδομένων. Η μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με τον μέσο όρο είναι 24/10 = 2,4.

Τώρα ξεκινάμε με ένα διαφορετικό σύνολο δεδομένων:

1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.

Όπως και το προηγούμενο σύνολο δεδομένων, ο μέσος όρος αυτού του συνόλου δεδομένων είναι 5.

Έτσι, η μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με τον μέσο όρο είναι 18/10 = 1,8. Συγκρίνουμε αυτό το αποτέλεσμα με το πρώτο παράδειγμα. Αν και ο μέσος όρος ήταν ο ίδιος για καθένα από αυτά τα παραδείγματα, τα δεδομένα στο πρώτο παράδειγμα ήταν πιο απλωμένα. Από τα δύο αυτά παραδείγματα βλέπουμε ότι η μέση απόλυτη απόκλιση από το πρώτο παράδειγμα είναι μεγαλύτερη από τη μέση απόλυτη απόκλιση από το δεύτερο παράδειγμα. Όσο μεγαλύτερη είναι η μέση απόλυτη απόκλιση, τόσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά των δεδομένων μας.

Ξεκινήστε με το ίδιο σύνολο δεδομένων με το πρώτο παράδειγμα:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Ο διάμεσος του συνόλου δεδομένων είναι 6. Στον παρακάτω πίνακα, παρουσιάζουμε τις λεπτομέρειες του υπολογισμού της μέσης απόλυτης απόκλισης σχετικά με το διάμεσο.

Και πάλι χωρίζουμε το σύνολο κατά 10 και λαμβάνουμε μέση μέση απόκλιση ως προς το διάμεσο ως 24/10 = 2,4.

Ξεκινήστε με το ίδιο σύνολο δεδομένων όπως πριν:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Αυτή τη φορά βρίσκουμε τη λειτουργία αυτού του συνόλου δεδομένων να είναι 7. Στον παρακάτω πίνακα, παρουσιάζουμε τις λεπτομέρειες του υπολογισμού της μέσης απόλυτης απόκλισης για τον τρόπο λειτουργίας.

Διαχωρίζουμε το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων και βλέπουμε ότι έχουμε μια μέση απόλυτη απόκλιση για τον τρόπο 22/10 = 2.2.

Υπάρχουν μερικές βασικές ιδιότητες σχετικά με τις μέσες απόλυτες αποκλίσεις

• Η μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με το διάμεσο είναι πάντοτε μικρότερη ή ίση με τη μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με τον μέσο όρο.
• Η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη ή ίση με τη μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με το μέσο όρο.
• Η μέση απόλυτη απόκλιση μερικές φορές συντομεύεται από το MAD. Δυστυχώς, αυτό μπορεί να είναι διφορούμενο, καθώς το MAD μπορεί εναλλακτικά να αναφέρεται στην μέση απόλυτη απόκλιση.
• Η μέση απόλυτη απόκλιση για μια κανονική κατανομή είναι περίπου 0,8 φορές το μέγεθος της τυπικής απόκλισης.

Η μέση απόλυτη απόκλιση έχει μερικές εφαρμογές. Η πρώτη εφαρμογή είναι ότι αυτή η στατιστική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διδάξει μερικές από τις ιδέες πίσω από το τυπική απόκλιση. Η μέση απόλυτη απόκλιση σχετικά με τον μέσο όρο είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί από την τυπική απόκλιση. Δεν απαιτεί να τεμαχίσουμε τις αποκλίσεις και δεν χρειάζεται να βρούμε μια τετραγωνική ρίζα στο τέλος του υπολογισμού μας. Επιπλέον, η μέση απόλυτη απόκλιση συνδέεται περισσότερο διαισθητικά με την εξάπλωση του συνόλου δεδομένων από ό, τι είναι η τυπική απόκλιση. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η μέση απόλυτη απόκλιση διδάσκεται μερικές φορές πρώτα, πριν εισαχθεί η τυπική απόκλιση.

Μερικοί έχουν προχωρήσει τόσο πολύ ώστε να υποστηρίζουν ότι η τυπική απόκλιση θα πρέπει να αντικατασταθεί από τη μέση απόλυτη απόκλιση. Αν και η τυπική απόκλιση είναι σημαντική για επιστημονικές και μαθηματικές εφαρμογές, δεν είναι τόσο έξυπνη όσο η μέση απόλυτη απόκλιση. Για καθημερινές εφαρμογές, η μέση απόλυτη απόκλιση είναι ένας πιο απτός τρόπος μέτρησης του τρόπου διάδοσης των δεδομένων.