Γιατί το μηδενικό παράγοντα ισούται με το ένα;

Ένας μηδενικός συντελεστής είναι μια μαθηματική έκφραση για τον αριθμό των τρόπων να οργανωθεί ένα σύνολο δεδομένων χωρίς τιμές σε αυτό, το οποίο ισούται με ένα. Σε γενικές γραμμές, το παραγοντικό του αριθμού είναι ένας συντομογραφικός τρόπος για να γράψετε μια έκφραση πολλαπλασιασμού όπου ο αριθμός πολλαπλασιάζεται με κάθε αριθμό μικρότερο από αυτό, αλλά μεγαλύτερο από το μηδέν. 4! = 24, για παράδειγμα, είναι το ίδιο με το γράψιμο 4 x 3 x 2 x 1 = 24, αλλά το ένα χρησιμοποιεί ένα θαυμαστικό στα δεξιά του παραγοντικού αριθμού (τέσσερα) για να εκφράσει την ίδια εξίσωση.

Από τα παραδείγματα αυτά είναι αρκετά σαφές πώς να υπολογίσουμε τον παράγοντα κάθε ακέραιου αριθμού μεγαλύτερο από ή ίσο με ένα, αλλά γιατί είναι η τιμή του μηδενικού παράγοντα ενός παρά τον μαθηματικό κανόνα ότι οτιδήποτε πολλαπλασιαζόμενο με το μηδέν είναι ίσο με το μηδέν;

Ο ορισμός του παράγοντα δηλώνει ότι 0! = 1. Αυτό συνήθως μπερδεύει τους ανθρώπους την πρώτη φορά που βλέπουν αυτήν την εξίσωση, αλλά θα δούμε παρακάτω παραδείγματα γιατί αυτό είναι λογικό όταν εξετάζετε τον ορισμό, τις μεταβολές και τους τύπους για το μηδέν παραγοντικό.

Ο πρώτος λόγος για τον οποίο ο μηδενικός παράγοντας είναι ίσος με έναν είναι ότι αυτός είναι ο ορισμός που λέει ότι πρέπει να είναι, που είναι μια μαθηματικά σωστή εξήγηση (αν είναι κάπως ατελέσφορη). Ακόμα, πρέπει να θυμηθούμε ότι ο ορισμός ενός παράγοντα είναι το προϊόν όλων των ακέραιων αριθμών ίσων ή μικρότερων ως προς την αξία του αρχικός αριθμός - με άλλα λόγια, ένας συντελεστής είναι ο αριθμός δυνατών συνδυασμών με αριθμούς μικρότερους ή ίσους με αυτούς αριθμός.

Επειδή το μηδέν δεν έχει αριθμούς μικρότερους από αυτό, αλλά εξακολουθεί να είναι ένας αριθμός, υπάρχει ένας πιθανός συνδυασμός του πώς μπορεί να ρυθμιστεί αυτό το σύνολο δεδομένων: δεν μπορεί. Αυτό εξακολουθεί να μετράει ως τρόπος τοποθέτησης, έτσι εξ ορισμού, ένας μηδενικός συντελεστής είναι ίσος με έναν, ακριβώς όπως 1! είναι ίσο με ένα επειδή υπάρχει μόνο μία δυνατή διάταξη αυτού του συνόλου δεδομένων.

Για μια καλύτερη κατανόηση του τρόπου με τον οποίο αυτό έχει νόημα μαθηματικά, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι παράγοντες όπως αυτές χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό πιθανών παραγγελιών πληροφοριών σε μια αλληλουχία, επίσης γνωστή ως μεταλλαγές, που μπορεί να είναι χρήσιμη στην κατανόηση ότι παρόλο που δεν υπάρχουν τιμές σε ένα κενό ή μηδενικό σύνολο, υπάρχει ακόμα ένας τρόπος που το σύνολο είναι διατεταγμένα.

ΕΝΑ μετάθεση είναι μια συγκεκριμένη, μοναδική σειρά στοιχείων σε ένα σετ. Για παράδειγμα, υπάρχουν έξι μεταθέσεις του συνόλου {1, 2, 3}, που περιέχει τρία στοιχεία, αφού μπορούμε να γράψουμε αυτά τα στοιχεία με τους ακόλουθους έξι τρόπους:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Θα μπορούσαμε επίσης να δηλώσουμε αυτό το γεγονός μέσω της εξίσωσης 3! = 6, η οποία είναι μια παραγοντική αναπαράσταση του πλήρους συνόλου παραλλαγών. Με παρόμοιο τρόπο, υπάρχουν 4! = 24 παραλλαγές ενός σετ με τέσσερα στοιχεία και 5! = 120 παραλλαγές ενός σετ με πέντε στοιχεία. Έτσι ένας εναλλακτικός τρόπος να σκεφτούμε τον παράγοντα είναι να αφήσουμε n να είναι ένας φυσικός αριθμός και να το πω αυτό n! είναι ο αριθμός των μεταβολών για ένα σύνολο με n στοιχεία.

Με αυτόν τον τρόπο σκέψης για τον παράγοντα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα. Ενα σύνολο με δύο στοιχεία έχει δύο παραλλαγές: {a, b} μπορεί να διευθετηθεί ως a, b ή ως b, a. Αυτό αντιστοιχεί σε 2! = 2. Ένα σύνολο με ένα στοιχείο έχει μία μόνο μετάθεση, καθώς το στοιχείο 1 στο σύνολο {1} μπορεί να παραγγελθεί μόνο με έναν τρόπο.

Αυτό μας οδηγεί στο μηδενικό παράγοντα. Το σύνολο με μηδενικά στοιχεία ονομάζεται άδειο σετ. Για να βρούμε την τιμή μηδενικού παράγοντα, ρωτάμε: "Πόσοι τρόποι μπορούμε να παραγγείλουμε ένα σύνολο χωρίς στοιχεία;" Εδώ πρέπει να τεντώσουμε τη σκέψη μας λίγο. Παρόλο που δεν υπάρχει τίποτα που να τίθεται σε μια σειρά, υπάρχει ένας τρόπος για να γίνει αυτό. Έτσι έχουμε 0! = 1.

Ένας άλλος λόγος για τον ορισμό του 0! = 1 έχει να κάνει με τους τύπους που χρησιμοποιούμε για μεταλλαγές και συνδυασμούς. Αυτό δεν εξηγεί γιατί το μηδενικό παράγοντα είναι ένα, αλλά δείχνει γιατί ο καθορισμός 0! = 1 είναι μια καλή ιδέα.

Ένας συνδυασμός είναι μια ομαδοποίηση στοιχείων ενός συνόλου χωρίς να ληφθεί υπόψη η τάξη. Για παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο {1, 2, 3}, όπου υπάρχει ένας συνδυασμός που αποτελείται από τα τρία στοιχεία. Ανεξάρτητα από το πώς οργανώνουμε αυτά τα στοιχεία, καταλήγουμε στον ίδιο συνδυασμό.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για συνδυασμούς με τον συνδυασμό τριών στοιχείων που λαμβάνονται τρεις κάθε φορά και βλέπουμε ότι 1 = ντο (3, 3) = 3!/(3! 0!), Και αν θεραπεύσουμε 0! ως άγνωστη ποσότητα και να λύσουμε αλγεβρικά, βλέπουμε ότι 3! 0! = 3! και έτσι 0! = 1.

Υπάρχουν άλλοι λόγοι για τους οποίους ο ορισμός του 0! = 1 είναι σωστή, αλλά οι λόγοι παραπάνω είναι οι πιο απλοί. Η γενική ιδέα στα μαθηματικά είναι ότι όταν κατασκευάζονται νέες ιδέες και ορισμοί, παραμένουν σύμφωνα με άλλα μαθηματικά, και αυτό είναι ακριβώς αυτό που βλέπουμε στον ορισμό του μηδενικού παράγοντα ίσο με ένα.