Ένας δημοφιλής τρόπος για να μελετήσετε την πιθανότητα είναι να κάνετε ζάρια. Ένας τυποποιημένος τύπος έχει έξι πλευρές τυπωμένες με μικρές κουκίδες αρίθμησης 1, 2, 3, 4, 5 και 6. Εάν ο καθένας είναι δίκαιος (και θα το κάνουμε υποθέτω ότι όλα αυτά είναι), τότε κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανό. Δεδομένου ότι υπάρχουν έξι πιθανά αποτελέσματα, η πιθανότητα απόκτησης οποιασδήποτε πλευράς της μήτρας είναι 1/6. Η πιθανότητα κύλισης του 1 είναι 1/6, η πιθανότητα κύλισης του 2 είναι 1/6, και ούτω καθεξής. Αλλά τι συμβαίνει αν προσθέσουμε άλλο ένα πεθαίνουν; Ποιες είναι οι πιθανότητες για το γύρισμα δύο ζαριών;
Πιθανότητα ρολού ζαριών
Για να προσδιορίσουμε σωστά την πιθανότητα ενός ζαριού, πρέπει να γνωρίζουμε δύο πράγματα:
- Το μέγεθος του δείγμα χώρου ή το σύνολο των συνολικών πιθανών αποτελεσμάτων
- Πόσο συχνά συμβαίνει ένα συμβάν
Σε πιθανότητα, ένα συμβάν είναι ένα ορισμένο υποσύνολο του χώρου δείγματος. Για παράδειγμα, όταν μόνο μία μήτρα είναι τυλιγμένη, όπως στο παραπάνω παράδειγμα, ο χώρος δείγματος είναι ίσος με όλες τις τιμές στη μήτρα ή το σύνολο (1, 2, 3, 4, 5, 6). Δεδομένου ότι η μήτρα είναι δίκαιη, κάθε αριθμός στο σύνολο εμφανίζεται μόνο μία φορά. Με άλλα λόγια, η συχνότητα κάθε αριθμού είναι 1. Για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα κυλίσεως οποιουδήποτε αριθμού στην μήτρα, χωρίζουμε τη συχνότητα συμβάντος (1) από το μέγεθος του χώρου δείγματος (6), με αποτέλεσμα την πιθανότητα 1/6.
Η μετακίνηση δύο δίκαιων ζαριών υπερδιπλασιάζει τη δυσκολία υπολογισμού των πιθανοτήτων. Αυτό συμβαίνει επειδή η κύλιση μιας μήτρας είναι ανεξάρτητη από την κύλιση μιας δεύτερης. Ένα ρολό δεν έχει καμία επίδραση στο άλλο. Όταν ασχολούμαστε με ανεξάρτητα γεγονότα, χρησιμοποιούμε το κανόνα πολλαπλασιασμού. Η χρήση ενός διαγράμματος δέντρου καταδεικνύει ότι υπάρχουν 6 x 6 = 36 πιθανά αποτελέσματα από το τροχαίο δύο ζάρια.
Ας υποθέσουμε ότι η πρώτη μήτρα που κυλίνουμε εμφανίζεται ως 1. Ο άλλος κύλινδρος μήτρας μπορεί να είναι 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Τώρα υποθέστε ότι ο πρώτος πεθαίνει είναι 2. Το άλλο κυλινδρικό ρολό μπορεί να είναι 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Βρήκαμε ήδη 12 πιθανά αποτελέσματα και δεν έχουμε ακόμη εξαντλήσει όλες τις δυνατότητες του πρώτου πεθαμένου.
Πίνακας πιθανοτήτων κυλώντας δύο ζάρια
Τα πιθανά αποτελέσματα της έλασης δύο ζαριών παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Σημειώστε ότι ο αριθμός των συνολικών πιθανών αποτελεσμάτων είναι ίσος με το χώρο δείγματος της πρώτης μήτρας (6) πολλαπλασιασμένο από το χώρο δείγματος της δεύτερης μήτρας (6), η οποία είναι 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Τρία ή περισσότερα ζάρια
Η ίδια αρχή ισχύει και όταν εργαζόμαστε προβλήματα που αφορούν τρία ζάρια. Πολλαπλασιάζουμε και βλέπουμε ότι υπάρχουν 6 x 6 x 6 = 216 πιθανά αποτελέσματα. Καθώς καθίσταται δυσκίνητο να γράψουμε τον επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εκθέτες για να απλοποιήσουμε την εργασία. Για δύο ζάρια, υπάρχουν 62 πιθανών αποτελεσμάτων. Για τρία ζάρια, υπάρχουν 63 πιθανών αποτελεσμάτων. Σε γενικές γραμμές, αν κυλάμε n ζάρια, τότε υπάρχουν συνολικά 6n πιθανών αποτελεσμάτων.
Δείγματα Προβλημάτων
Με αυτές τις γνώσεις μπορούμε να λύσουμε όλα τα προβλήματα πιθανότητας:
1. Δύο τετράγωνα ζάρια είναι τυλιγμένα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το άθροισμα των δύο ζαριών είναι επτά;
Ο ευκολότερος τρόπος για να επιλύσετε αυτό το πρόβλημα είναι να συμβουλευτείτε τον παραπάνω πίνακα. Θα παρατηρήσετε ότι σε κάθε σειρά υπάρχει ένας ζαριά όπου το άθροισμα των δύο ζαριών είναι ίσο με επτά. Δεδομένου ότι υπάρχουν έξι σειρές, υπάρχουν έξι πιθανά αποτελέσματα όπου το άθροισμα των δύο ζαριών είναι ίσο με επτά. Ο αριθμός των συνολικών πιθανών αποτελεσμάτων παραμένει 36. Και πάλι, βρίσκουμε την πιθανότητα διαιρώντας τη συχνότητα συμβάντος (6) με το μέγεθος του χώρου δείγματος (36), με αποτέλεσμα την πιθανότητα 1/6.
2. Δύο τετράγωνα ζάρια είναι τυλιγμένα. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα από τα δύο ζάρια είναι τρία;
Στο προηγούμενο πρόβλημα, ίσως έχετε παρατηρήσει ότι τα κελιά όπου το άθροισμα των δύο ζαριών είναι ίσο με επτά σχηματίζουν μια διαγώνιο. Το ίδιο ισχύει εδώ, εκτός από την περίπτωση αυτή υπάρχουν μόνο δύο κελιά όπου το άθροισμα των ζαριών είναι τρία. Αυτό συμβαίνει επειδή υπάρχουν μόνο δύο τρόποι για να επιτευχθεί αυτό το αποτέλεσμα. Πρέπει να κυλήσετε ένα 1 και ένα ή 2 ή θα πρέπει να ρίξετε ένα 2 και ένα 1. Οι συνδυασμοί για κύλιση ενός ποσού επτά είναι πολύ μεγαλύτεροι (1 και 6, 2 και 5, 3 και 4, και ούτω καθεξής). Για να βρούμε την πιθανότητα ότι το άθροισμα των δύο ζαριών είναι τρία, μπορούμε να διαιρέσουμε τη συχνότητα συμβάντος (2) κατά το μέγεθος του χώρου δείγματος (36), με αποτέλεσμα την πιθανότητα 1/18.
3. Δύο τετράγωνα ζάρια είναι τυλιγμένα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το αριθμούς στα ζάρια είναι διαφορετικά;
Και πάλι, μπορούμε εύκολα να λύσουμε αυτό το πρόβλημα εξετάζοντας τον παραπάνω πίνακα. Θα παρατηρήσετε ότι τα κελιά όπου οι αριθμοί στα ζάρια έχουν την ίδια μορφή με διαγώνιο. Υπάρχουν μόνο έξι από αυτούς και μόλις τους περάσουμε έχουμε τα υπόλοιπα κελιά στα οποία οι αριθμοί στα ζάρια είναι διαφορετικοί. Μπορούμε να πάρουμε τον αριθμό των συνδυασμών (30) και να το διαιρέσουμε ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος (36), με αποτέλεσμα την πιθανότητα 5/6.