Πρακτική Πώς να προσδιορίσετε έναν εκθέτη και τη βάση

Ο προσδιορισμός του εκθέτη και της βάσης του είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για την απλούστευση εκφράσεις με εκθέτες, αλλά πρώτα, είναι σημαντικό να ορίσετε τους όρους: ένας εκθέτης είναι ο αριθμός των φορών που πολλαπλασιάζεται ένας αριθμός από μόνη της και η βάση είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του στο ποσό που εκφράζεται από το εκθέτης.

Για να απλουστευθεί αυτή η εξήγηση, η βασική μορφή ενός εκθέτης και η βάση μπορεί να γραφτεί σιⁿ εν n είναι ο εκθέτης ή ο αριθμός των φορών που η βάση πολλαπλασιάζεται από την ίδια και σι είναι η βάση είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται από μόνη της. Ο εκθέτης, στα μαθηματικά, γράφεται πάντοτε με δείκτη για να δηλώσει ότι είναι ο αριθμός των φορών που ο αριθμός στον οποίο είναι συνδεδεμένος πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του.

Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στις επιχειρήσεις για τον υπολογισμό του ποσού που παράγεται ή χρησιμοποιείται με την πάροδο του χρόνου από μια εταιρεία όπου το ποσό που παράγεται ή καταναλώνεται είναι πάντα (ή σχεδόν πάντοτε) το ίδιο από ώρα σε ώρα, μέρα σε ημέρα ή έτος έως έτος. Σε περιπτώσεις όπως αυτές, οι επιχειρήσεις μπορούν να εφαρμόσουν τους τύπους εκθετικής ανάπτυξης ή εκθετικής φθοράς προκειμένου να αξιολογήσουν καλύτερα τα μελλοντικά αποτελέσματα.

Παρόλο που δεν αντιμετωπίζετε συχνά την ανάγκη πολλαπλασιασμού ενός αριθμού από μόνη της μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, υπάρχουν πολλές καθημερινές εκθέτες, ειδικά σε μονάδες μέτρησης όπως τετράγωνα και κυβικά πόδια και ίντσες, τα οποία τεχνικά σημαίνουν "ένα πόδι πολλαπλασιασμένο με ένα πόδι."

Οι εκθέτες είναι επίσης εξαιρετικά χρήσιμοι για την ένδειξη εξαιρετικά μεγάλων ή μικρών ποσοτήτων και μετρήσεων όπως τα νανομέτρων, δηλαδή 10^-9 μετρητές, οι οποίοι μπορούν επίσης να γραφτούν ως δεκαδικό σημείο που ακολουθείται από οκτώ μηδενικά, κατόπιν ένα (.000000001). Ωστόσο, κατά κανόνα, οι μέσοι άνθρωποι δεν χρησιμοποιούν εκθέτες, εκτός από την περίπτωση της σταδιοδρομίας στη χρηματοδότηση, την τεχνολογία υπολογιστών και τον προγραμματισμό, την επιστήμη και τη λογιστική.

Εκθετική αύξηση από μόνο του είναι μια κρίσιμη πτυχή όχι μόνο του χρηματιστηριακού κόσμου αλλά και των βιολογικών λειτουργιών, της απόκτησης πόρων, των ηλεκτρονικών υπολογισμών και των δημογραφικών στοιχείων έρευνα ενώ η εκθετική αποσύνθεση χρησιμοποιείται συνήθως στον σχεδιασμό ήχου και φωτισμού, στα ραδιενεργά απόβλητα και σε άλλες επικίνδυνες χημικές ουσίες και στην οικολογική έρευνα που συνεπάγεται μείωση πληθυσμών.

Οι εκθέτες είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για τον υπολογισμό του σύνθετου ενδιαφέροντος, επειδή το ποσό των χρημάτων που κερδίζονται και αυξάνεται εξαρτάται από τον εκθέτη του χρόνου. Με άλλα λόγια, οι τόκοι συσσωρεύονται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε φορά που επιδεινώνεται, το συνολικό ενδιαφέρον αυξάνει εκθετικά.

Τα συνταξιοδοτικά ταμεία, οι μακροπρόθεσμες επενδύσεις, η ιδιοκτησία και ακόμη και το χρέος των πιστωτικών καρτών βασίζονται σε αυτή την σύνθετη εξίσωση τόκων για να καθορίσουν πόσα χρήματα γίνονται (ή χάνονται / χρεώνονται) για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.

Ομοίως, οι τάσεις στις πωλήσεις και το μάρκετινγκ τείνουν να ακολουθούν εκθετικά πρότυπα. Πάρτε για παράδειγμα το boom smartphone που άρχισε κάπου γύρω από το 2008: Στην αρχή, πολύ λίγοι άνθρωποι είχαν smartphones, αλλά κατά τη διάρκεια των επόμενων πέντε ετών, ο αριθμός των ατόμων που τα αγόρασαν ετησίως αυξήθηκε εκθετικά.

Αύξηση του πληθυσμού λειτουργεί επίσης με τον τρόπο αυτό, επειδή οι πληθυσμοί αναμένεται να είναι σε θέση να παράγουν ένα σταθερό αριθμό περισσότερων απογόνων κάθε γενιά, που σημαίνει ότι μπορούμε να αναπτύξουμε μια εξίσωση για την πρόβλεψη της ανάπτυξής τους σε ένα ορισμένο ποσό γενεές:

c = (2ⁿ)²

Στην εξίσωση αυτή, ντο αντιπροσωπεύει το συνολικό αριθμό των παιδιών που είχαν μετά από ένα ορισμένο αριθμό γενεών, εκπροσωπείται από n, που υποθέτει ότι κάθε γονικό ζευγάρι μπορεί να παράγει τέσσερις απογόνους. Η πρώτη γενιά, επομένως, θα έχει τέσσερα παιδιά επειδή δύο πολλαπλασιασμένα με ένα ισοδυναμούν με δύο, τα οποία στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τη δύναμη του εκθέτη (2), που ισούται με τέσσερα. Από την τέταρτη γενιά, ο πληθυσμός θα αυξηθεί κατά 216 παιδιά.

Προκειμένου να υπολογιστεί αυτή η ανάπτυξη ως σύνολο, τότε θα πρέπει να συνδέσουμε τον αριθμό των παιδιών (c) σε μία εξίσωση που προσθέτει και στους γονείς κάθε γενιά: p = (2^n-1)² + c + 2. Σε αυτή την εξίσωση, ο συνολικός πληθυσμός (p) καθορίζεται από τη γενιά (n) και ο συνολικός αριθμός των παιδιών προστίθεται στην παραγωγή (c).

Το πρώτο μέρος αυτής της νέας εξίσωσης προσθέτει απλώς τον αριθμό των απογόνων που παράγει κάθε γενιά πριν από αυτήν (με την πρώτη μείωση του αριθμού παραγωγής από ένα), που σημαίνει ότι προσθέτει το σύνολο των γονιών στο συνολικό αριθμό των παραγόμενων απογόνων (c) προτού προστεθούν στους πρώτους δύο γονείς που ξεκίνησαν τον πληθυσμό.

Χρησιμοποιήστε τις εξισώσεις που παρουσιάζονται στην Ενότητα 1 παρακάτω για να ελέγξετε την ικανότητά σας να προσδιορίσετε τη βάση και τον εκθέτη του καθενός πρόβλημα, ελέγξτε τις απαντήσεις σας στην Ενότητα 2 και ανατρέξτε στον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν αυτές οι εξισώσεις στην τελική Ενότητα 3.

Είναι σημαντικό να θυμάστε τη σειρά εργασιών, ακόμη και στην απλή αναγνώριση βάσεων και εκθετών, που δηλώνει ότι οι εξισώσεις επιλύονται με την ακόλουθη σειρά: παρένθεση, εκθέτες και ρίζες, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, κατόπιν προσθήκη και αφαίρεση.

Εξαιτίας αυτού, οι βάσεις και οι εκθέτες στις παραπάνω εξισώσεις θα απλοποιούνταν στις απαντήσεις που παρουσιάζονται στην Ενότητα 2. Σημειώστε την ερώτηση 3: 7y³ είναι σαν να λέτε 7 φορές y³. Μετά y είναι κύβος, τότε πολλαπλασιάζετε με 7. Η μεταβλητή y, όχι 7, ανυψώνεται στην τρίτη δύναμη.

Στην ερώτηση 6, από την άλλη πλευρά, ολόκληρη η φράση στην παρένθεση γράφεται ως βάση και οτιδήποτε στον υπερκειμένο η θέση γράφεται ως ο εκθέτης (το κείμενο του δείγματος μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι σε παρένθεση σε μαθηματικές εξισώσεις όπως αυτά τα).