Διαφορές μεταξύ πληθυσμού και πρότυπων τυπικών αποκλίσεων

Όταν εξετάζουμε τυποποιημένες αποκλίσεις, μπορεί να αποτελεί έκπληξη ότι υπάρχουν δύο πράγματι που μπορούν να ληφθούν υπόψη. Υπάρχει μια τυπική απόκλιση του πληθυσμού και υπάρχει τυπική απόκλιση δείγματος. Θα διακρίνουμε μεταξύ των δύο αυτών και θα τονίσουμε τις διαφορές τους.

Αν και οι δύο τυπικές αποκλίσεις μετρούν τη μεταβλητότητα, υπάρχουν διαφορές μεταξύ ενός πληθυσμού και ενός τυπική απόκλιση δείγματος. Ο πρώτος έχει να κάνει με τη διάκριση μεταξύ στατιστικές και παραμέτρους. Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι μια παράμετρος, η οποία είναι μια σταθερή τιμή που υπολογίζεται από κάθε άτομο του πληθυσμού.

Μια τυποποιημένη απόκλιση δείγματος είναι στατιστική. Αυτό σημαίνει ότι υπολογίζεται μόνο από μερικά άτομα του πληθυσμού. Δεδομένου ότι η τυπική απόκλιση του δείγματος εξαρτάται από το δείγμα, έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα. Έτσι, η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι μεγαλύτερη από αυτή του πληθυσμού.

Θα δούμε πώς αυτοί οι δύο τύποι τυπικών αποκλίσεων είναι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμητικά. Για να γίνει αυτό, εξετάζουμε τους τύπους τόσο για την τυπική απόκλιση του δείγματος όσο και για την τυπική απόκλιση του πληθυσμού.

Οι τύποι για τον υπολογισμό και των δύο αυτών τυπικών αποκλίσεων είναι σχεδόν πανομοιότυποι:

1. Υπολογίστε τον μέσο όρο.
2. Αφαιρέστε τον μέσο όρο από κάθε τιμή για να αποκτήσετε αποκλίσεις από τον μέσο όρο.
3. Τετράγωνο κάθε μία από τις αποκλίσεις.
4. Προσθέστε όλες αυτές τις τετραγωνικές αποκλίσεις.

Τώρα ο υπολογισμός αυτών των τυπικών αποκλίσεων διαφέρει:

• Αν υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, τότε διαιρούμε με n, τον αριθμό των τιμών δεδομένων.
• Αν υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση του δείγματος, τότε διαιρούμε με n -1, ένα μικρότερο από τον αριθμό των τιμών δεδομένων.

Το τελευταίο βήμα, σε οποιαδήποτε από τις δύο περιπτώσεις που εξετάζουμε, είναι να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου από το προηγούμενο βήμα.

Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή n είναι, τόσο πιο κοντά θα είναι οι τυπικές αποκλίσεις του πληθυσμού και του δείγματος.

Για να συγκρίνουμε αυτούς τους δύο υπολογισμούς, θα ξεκινήσουμε με το ίδιο σύνολο δεδομένων:

1, 2, 4, 5, 8

Στη συνέχεια, πραγματοποιούμε όλα τα βήματα που είναι κοινά και στους δύο υπολογισμούς. Μετά από αυτούς, οι υπολογισμοί θα αποκλίνουν ο ένας από τον άλλο και θα κάνουμε διάκριση μεταξύ των τυπικών αποκλίσεων του πληθυσμού και του δείγματος.

Ο μέσος όρος είναι (1 + 2 + 4 + 5 + 8) / 5 = 20/5 = 4.

Οι αποκλίσεις προκύπτουν αφαιρώντας τον μέσο όρο από κάθε τιμή:

• 1 - 4 = -3
• 2 - 4 = -2
• 4 - 4 = 0
• 5 - 4 = 1
• 8 - 4 = 4.

Οι αποκλίσεις τετράγωνο είναι οι εξής:

• (-3)² = 9
• (-2)² = 4
• 0² = 0
• 1² = 1
• 4² = 16

Προσθέτουμε τώρα αυτές τις τετραγωνικές αποκλίσεις και βλέπουμε ότι το άθροισμα τους είναι 9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30.

Στο πρώτο μας υπολογισμό, θα αντιμετωπίσουμε τα δεδομένα μας σαν να είναι ολόκληρος ο πληθυσμός. Διαχωρίζουμε τον αριθμό των σημείων δεδομένων, ο οποίος είναι πέντε. Αυτό σημαίνει ότι ο πληθυσμός διαφορά είναι 30/5 = 6. Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι η τετραγωνική ρίζα του 6. Αυτό είναι περίπου 2.4495.

Στον δεύτερο υπολογισμό μας, θα αντιμετωπίσουμε τα δεδομένα μας σαν να είναι δείγμα και όχι ολόκληρος ο πληθυσμός. Διαχωρίζουμε κατά ένα λιγότερο από τον αριθμό των σημείων δεδομένων. Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, διαιρούμε με τέσσερα. Αυτό σημαίνει ότι η διακύμανση του δείγματος είναι 30/4 = 7,5. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι η τετραγωνική ρίζα του 7,5. Αυτό είναι περίπου 2.7386.

Είναι πολύ εμφανές από αυτό το παράδειγμα ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ των τυπικών αποκλίσεων του πληθυσμού και του δείγματος.