Ποια είναι η διαφορά των δύο σετ στη θεωρία των συνόλων;

Η διαφορά δύο συνόλων, γραπτή ΕΝΑ - σι είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του ΕΝΑ που δεν είναι στοιχεία του σι. Η λειτουργία διαφοράς, μαζί με την ένωση και τη διασταύρωση, είναι σημαντική και θεμελιώδης λειτουργία θεωρίας συνόλων.

Η αφαίρεση ενός αριθμού από το άλλο μπορεί να θεωρηθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Ένα μοντέλο που βοηθά στην κατανόηση αυτής της έννοιας καλείται μοντέλο αφαίρεση. Σε αυτό, το πρόβλημα 5 - 2 = 3 θα αποδειχθεί ξεκινώντας με πέντε αντικείμενα, αφαιρώντας δύο από αυτά και υπολογίζοντας ότι υπήρχαν τρεις. Με παρόμοιο τρόπο που βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ δύο αριθμών, μπορούμε να βρούμε τη διαφορά δύο συνόλων.

Θα δούμε ένα παράδειγμα της καθορισμένης διαφοράς. Για να δείτε πώς η διαφορά των δύο σκηνικά σχηματίζει ένα νέο σύνολο, ας εξετάσουμε τα σύνολα ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Για να βρεις τη διαφορά ΕΝΑ - σι από αυτά τα δύο σύνολα, ξεκινάμε γράφοντας όλα τα στοιχεία του ΕΝΑ, και στη συνέχεια να αφαιρέσει κάθε στοιχείο του

Ακριβώς όπως οι διαφορές 4 - 7 και 7 - 4 μας δίνουν διαφορετικές απαντήσεις, πρέπει να είμαστε προσεκτικοί σχετικά με τη σειρά με την οποία υπολογίζουμε την καθορισμένη διαφορά. Για να χρησιμοποιήσουμε έναν τεχνικό όρο από τα μαθηματικά, θα λέγαμε ότι η καθορισμένη λειτουργία της διαφοράς δεν είναι συγκινητική. Αυτό σημαίνει ότι γενικά δεν μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά της διαφοράς των δύο σετ και να περιμένουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Μπορούμε να δηλώσουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια ότι για όλα τα σύνολα ΕΝΑ και σι, ΕΝΑ - σι δεν είναι ίσο με σι - ΕΝΑ.

Για να δείτε αυτό, ανατρέξτε στο παραπάνω παράδειγμα. Υπολογίσαμε αυτό για τα σύνολα ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, η διαφορά ΕΝΑ - σι = {1, 2 }. Για να το συγκρίνεις αυτό σι - ΕΝΑ, αρχίζουμε με τα στοιχεία του σι, τα οποία είναι 3, 4, 5, 6, 7, 8, και στη συνέχεια αφαιρέστε τα 3, 4 και 5 επειδή αυτά είναι κοινά με ΕΝΑ. Το αποτέλεσμα είναι σι - ΕΝΑ = {6, 7, 8 }. Αυτό το παράδειγμα μας δείχνει σαφώς αυτό Α - Β δεν είναι ίσο με Β - Α.

Μια διαφορά είναι αρκετά σημαντική για να δικαιολογήσει το δικό της ειδικό όνομα και σύμβολο. Αυτό ονομάζεται συμπλήρωμα, και χρησιμοποιείται για την καθορισμένη διαφορά όταν το πρώτο σετ είναι το καθολικό σύνολο. Το συμπλήρωμα του ΕΝΑ δίνεται από την έκφραση U - ΕΝΑ. Αυτό αναφέρεται στο σύνολο όλων των στοιχείων του καθολικού συνόλου που δεν είναι στοιχεία του ΕΝΑ. Δεδομένου ότι είναι κατανοητό ότι το σύνολο στοιχείων που μπορούμε να επιλέξουμε από το παγκόσμιο σύνολο, μπορούμε απλά να πούμε ότι το συμπλήρωμα του ΕΝΑ είναι το σύνολο που αποτελείται από στοιχεία που δεν είναι στοιχεία του ΕΝΑ.

Το συμπλήρωμα ενός σετ είναι σε σχέση με το καθολικό σύνολο με το οποίο εργαζόμαστε. Με ΕΝΑ = {1, 2, 3} και U = {1, 2, 3, 4, 5}, το συμπλήρωμα του ΕΝΑ είναι {4, 5}. Εάν το σύνολο καθολικών μας είναι διαφορετικό, ας πούμε U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, τότε το συμπλήρωμα του ΕΝΑ {-3, -2, -1, 0}. Πάντα να είστε βέβαιοι να δώσετε προσοχή σε ό, τι καθολικό σύνολο που χρησιμοποιείται.

Η λέξη "συμπλήρωμα" ξεκινά με το γράμμα C, και έτσι χρησιμοποιείται στη συμβολική συμβολοσειρά. Το συμπλήρωμα του σετ ΕΝΑ είναι γραμμένο ως ΕΝΑ^ντο. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε τον ορισμό του συμπληρώματος στα σύμβολα ως εξής: ΕΝΑ^ντο = U - ΕΝΑ.

Ένας άλλος τρόπος που συνήθως χρησιμοποιείται για να δηλώσει το συμπλήρωμα ενός σετ περιλαμβάνει ένα αποστόπιο και είναι γραμμένο ως ΕΝΑ'.

Υπάρχουν πολλές ταυτότητες που περιλαμβάνουν τη χρήση των λειτουργιών διαφοράς και συμπληρώματος. Ορισμένες ταυτότητες συνδυάζουν άλλες λειτουργίες όπως το σημείο τομής και ένωση. Μερικά από τα πιο σημαντικά αναφέρονται παρακάτω. Για όλα τα σύνολα ΕΝΑ, και σι και ρε έχουμε:

• ΕΝΑ - ΕΝΑ =∅
• ΕΝΑ - ∅ = ΕΝΑ
• ∅ - ΕΝΑ = ∅
• ΕΝΑ - U = ∅
• (ΕΝΑ^ντο)^ντο = ΕΝΑ
• Νόμος DeMorgan I: (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∪ σι^ντο
• Νόμος II της DeMorgan: (ΕΝΑ ∪ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο