Λύσεις για την πρόκληση των προβλημάτων μέτρησης

Η μέτρηση μπορεί να φαίνεται σαν ένα εύκολο έργο. Καθώς μπαίνουμε βαθύτερα στην περιοχή του μαθηματικά γνωστός ως συνδυαστικά, συνειδητοποιούμε ότι συναντάμε μεγάλους αριθμούς. Δεδομένου ότι το παραγοντικό εμφανίζεται τόσο συχνά και ένας αριθμός όπως 10! είναι μεγαλύτερη από τρία εκατομμύριο, η καταμέτρηση των προβλημάτων μπορεί να επιδεινωθεί πολύ γρήγορα εάν επιχειρήσουμε να απαριθμήσουμε όλες τις δυνατότητες.

Μερικές φορές, όταν εξετάζουμε όλες τις δυνατότητες που μπορούν να αντιμετωπίσουν τα προβλήματα καταμέτρησης, είναι ευκολότερο να σκεφτούμε τις βασικές αρχές του προβλήματος. Αυτή η στρατηγική μπορεί να πάρει πολύ λιγότερο χρόνο από ό, τι η προσπάθεια βίαιης δύναμης για να απαριθμήσετε έναν αριθμό συνδυασμούς ή μεταβολές.

Το ερώτημα "Πόσοι τρόποι μπορεί να γίνει κάτι;" είναι μια διαφορετική ερώτηση εξ ολοκλήρου από "Ποιοι είναι οι τρόποι ότι κάτι μπορεί να γίνει; "Θα δούμε αυτή την ιδέα στην δουλειά μας στο ακόλουθο σύνολο των απαιτητικών μετρήσεων προβλήματα.

Το ακόλουθο σύνολο ερωτήσεων αφορά τη λέξη TRIANGLE. Σημειώστε ότι υπάρχουν συνολικά οκτώ γράμματα. Ας γίνει κατανοητό ότι το

1. Πόσοι τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE;
   Λύση: Εδώ υπάρχουν συνολικά οκτώ επιλογές για το πρώτο γράμμα, επτά για το δεύτερο, το έξι για το τρίτο, και ούτω καθεξής. Με την αρχή πολλαπλασιασμού πολλαπλασιάζουμε για ένα σύνολο 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 διαφορετικοί τρόποι.
2. Πόσοι τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE αν τα πρώτα τρία γράμματα πρέπει να είναι RAN (με την ακριβή σειρά);
   Λύση: Τα πρώτα τρία γράμματα έχουν επιλεγεί για εμάς, αφήνοντας μας πέντε γράμματα. Μετά το RAN έχουμε πέντε επιλογές για το επόμενο γράμμα ακολουθούμενες από τέσσερα, έπειτα τρία, τότε δύο από ένα. Με την αρχή του πολλαπλασιασμού, υπάρχουν 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 τρόποι να κανονίσετε τα γράμματα με έναν καθορισμένο τρόπο.
3. Πόσοι τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE εάν τα πρώτα τρία γράμματα πρέπει να είναι RAN (σε οποιαδήποτε σειρά);
   Λύση: Κοιτάξτε αυτό ως δύο ανεξάρτητα καθήκοντα: την πρώτη τακτοποίηση των γραμμάτων RAN, και τη δεύτερη την τακτοποίηση των άλλων πέντε γράμματα. Υπάρχουν 3! = 6 τρόποι να κανονίσετε RAN και 5! Τρόποι να κανονίσετε τις άλλες πέντε επιστολές. Έτσι υπάρχουν συνολικά 3! x 5! = 720 τρόποι να κανονίσετε τα γράμματα του TRIANGLE όπως καθορίζεται.
4. Πόσοι τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE εάν τα πρώτα τρία γράμματα πρέπει να είναι RAN (σε οποιαδήποτε σειρά) και το τελευταίο γράμμα πρέπει να είναι ένα φωνήεν;
   Λύση: Κοιτάξτε αυτό ως τρία καθήκοντα: η πρώτη τακτοποιώντας τα γράμματα RAN, η δεύτερη επιλέγοντας ένα φωνήεν από το Ι και Ε και το τρίτο τακτοποιώντας τα άλλα τέσσερα γράμματα. Υπάρχουν 3! = 6 τρόποι για να κανονίσετε RAN, 2 τρόποι για να επιλέξετε ένα φωνήεν από τα υπόλοιπα γράμματα και 4! Τρόποι για να κανονίσετε τις άλλες τέσσερις επιστολές. Έτσι υπάρχουν συνολικά 3! X 2 x 4! = 288 τρόποι να κανονίσετε τα γράμματα του TRIANGLE όπως καθορίζεται.
5. Πόσοι τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE εάν τα πρώτα τρία γράμματα πρέπει να είναι RAN (σε οποιαδήποτε σειρά) και τα επόμενα τρία γράμματα πρέπει να είναι TRI (με οποιαδήποτε σειρά);
   Λύση: Και πάλι έχουμε τρία καθήκοντα: την πρώτη τακτοποίηση των γραμμάτων RAN, τη δεύτερη την τακτοποίηση των γραμμάτων TRI, και την τρίτη διάταξη των άλλων δύο γραμμάτων. Υπάρχουν 3! = 6 τρόποι να κανονίσετε RAN, 3! τρόπους για να κανονίσετε το TRI και δύο τρόπους για να κανονίσετε τις άλλες επιστολές. Έτσι υπάρχουν συνολικά 3! x 3! X 2 = 72 τρόποι να κανονίσετε τα γράμματα του TRIANGLE όπως υποδεικνύεται.
6. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE αν η σειρά και η τοποθέτηση των φωνηέντων IAE δεν μπορούν να αλλάξουν;
   Λύση: Τα τρία φωνήεντα πρέπει να διατηρούνται στην ίδια σειρά. Τώρα υπάρχουν συνολικά πέντε συφωνίες για να κανονιστεί. Αυτό μπορεί να γίνει σε 5! = 120 τρόποι.
7. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE, αν η σειρά των φωνηέντων IAE δεν μπορεί (IAETRNGL και TRIANGEL είναι αποδεκτές, αλλά οι EIATRNGL και TRIENGLA είναι δεν)?
   Λύση: Αυτό θεωρείται καλύτερα σε δύο βήματα. Το πρώτο βήμα είναι να επιλέξετε τις θέσεις που φωνάζουν τα φωνήεντα. Εδώ επιλέγουμε τρία μέρη από τα οκτώ και η σειρά που κάνουμε δεν είναι σημαντική. Αυτός είναι ένας συνδυασμός και υπάρχουν συνολικά ντο(8,3) = 56 τρόποι για να εκτελέσετε αυτό το βήμα. Τα υπόλοιπα πέντε γράμματα μπορούν να τακτοποιηθούν σε 5! = 120 τρόποι. Αυτό δίνει συνολικά 56 x 120 = 6720 ρυθμίσεις.
8. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να ρυθμιστούν τα γράμματα της λέξης TRIANGLE, αν η σειρά των φωνηέντων IAE μπορεί να αλλάξει, αν και η τοποθέτησή τους δεν μπορεί;
   Λύση: Αυτό είναι πράγματι το ίδιο με το # 4 παραπάνω, αλλά με διαφορετικά γράμματα. Τακτοποιούμε τρία γράμματα σε 3! = 6 τρόποι και τα άλλα πέντε γράμματα στα 5! = 120 τρόποι. Ο συνολικός αριθμός των τρόπων για αυτή τη ρύθμιση είναι 6 x 120 = 720.
9. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν έξι γράμματα της λέξης TRIANGLE;
   Λύση: Δεδομένου ότι μιλάμε για μια ρύθμιση, αυτή είναι μια μετάλλαξη και υπάρχουν συνολικά Π( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 τρόποι.
10. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν έξι γράμματα της λέξης TRIANGLE αν πρέπει να υπάρχει ίσος αριθμός φωνηέντων και συμφώνων;
    Λύση: Υπάρχει μόνο ένας τρόπος να επιλέξετε τα φωνήεντα που θα τοποθετήσουμε. Επιλέγοντας τα συμφώνια μπορεί να γίνει μέσα ντο(5, 3) = 10 τρόποι. Τότε υπάρχουν 6! τρόπους για να κανονίσετε τα έξι γράμματα. Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς μαζί για το αποτέλεσμα των 7200.
11. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν έξι γράμματα της λέξης TRIANGLE, αν υπάρχει τουλάχιστον μία συφωνία;
    Λύση: Κάθε διάταξη έξι επιστολών ικανοποιεί τις συνθήκες, έτσι υπάρχουν Π(8, 6) = 20.160 τρόποι.
12. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι μπορούν να διευθετηθούν έξι γράμματα της λέξης TRIANGLE αν τα φωνήεντα πρέπει να εναλλάσσονται με τα συμφώνια;
    Λύση: Υπάρχουν δύο δυνατότητες, το πρώτο γράμμα είναι ένα φωνήεν ή το πρώτο γράμμα είναι σύμφωνο. Εάν το πρώτο γράμμα είναι φωνήεν, έχουμε τρεις επιλογές, ακολουθούμενες από πέντε για συφωνία, δύο για ένα δεύτερο φωνήεν, τέσσερα για ένα δεύτερο συφωνητή, ένα για το τελευταίο φωνήεν και τρία για την τελευταία συφωνία. Πολλαπλασιάζουμε αυτό για να λάβουμε 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Με επιχειρήματα συμμετρίας, υπάρχει ο ίδιος αριθμός ρυθμίσεων που ξεκινούν με συγγένεια. Αυτό δίνει συνολικά 720 ρυθμίσεις.
13. Πόσα διαφορετικά σύνολα τεσσάρων γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν από τη λέξη TRIANGLE;
    Λύση: Εφόσον μιλάμε για ένα σειρά από τέσσερα γράμματα από οκτώ, η σειρά δεν είναι σημαντική. Πρέπει να υπολογίσουμε τον συνδυασμό ντο(8, 4) = 70.
14. Πόσα διαφορετικά σύνολα τεσσάρων γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν από τη λέξη TRIANGLE που έχει δύο φωνήεντα και δύο σύμφωνες;
    Λύση: Εδώ διαμορφώνουμε το σύνολο μας σε δύο βήματα. Υπάρχουν ντο(3, 2) = 3 τρόποι να επιλέξετε δύο φωνήεντα από ένα σύνολο 3. Υπάρχουν ντο(5, 2) = 10 τρόποι να επιλέξετε τα συμφώνια από τα πέντε διαθέσιμα. Αυτό δίνει συνολικά 3x10 = 30 σύνολα δυνατά.
15. Πόσα διαφορετικά σύνολα τεσσάρων γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν από τη λέξη TRIANGLE αν θέλουμε τουλάχιστον ένα φωνήεν;
    Λύση: Αυτό μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

• Ο αριθμός των τεσσάρων συνόλων με ένα φωνήεν είναι ντο(3, 1) χ ντο( 5, 3) = 30.
• Ο αριθμός των σετ τεσσάρων με δύο φωνήεντα είναι ντο(3, 2) χ ντο( 5, 2) = 30.
• Ο αριθμός των τεσσάρων συνόλων με τρία φωνήεντα είναι ντο(3, 3) χ ντο( 5, 1) = 5.

Αυτό δίνει συνολικά 65 διαφορετικά σύνολα. Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε ότι υπάρχουν 70 τρόποι να σχηματιστεί ένα σύνολο τυχόν τεσσάρων γραμμάτων και αφαιρέστε το ντο(5, 4) = 5 τρόποι λήψης ενός συνόλου χωρίς φωνήεντα.