Εισαγωγή στην καμπύλη Bell

Μια κανονική κατανομή είναι πιο γνωστή ως καμπύλη καμπάνας. Αυτός ο τύπος καμπύλης εμφανίζεται καθ 'όλη τη διάρκεια στατιστική και τον πραγματικό κόσμο.

Για παράδειγμα, αφού δώσω ένα τεστ σε οποιαδήποτε από τις τάξεις μου, ένα πράγμα που μου αρέσει να κάνω είναι να κάνω ένα γράφημα όλων των βαθμολογιών. Συνήθως γράφω 10 διαστήματα σημείων όπως τα 60-69, 70-79 και 80-89, έπειτα βάζω ένα σημείωμα για κάθε βαθμολογία δοκιμής σε αυτό το εύρος. Σχεδόν κάθε φορά που το κάνω, εμφανίζεται ένα οικείο σχήμα. Λίγα Φοιτητές κάνει πολύ καλά και μερικοί κάνουν πολύ άσχημα. Μια δέσμη των αποτελεσμάτων καταλήγουν συγκεντρωμένα γύρω από το μέσο σκορ. Διαφορετικές δοκιμές μπορεί να οδηγήσουν σε διαφορετικά μέσα και τυπικές αποκλίσεις, αλλά το σχήμα του γραφήματος είναι σχεδόν πάντα το ίδιο. Αυτό το σχήμα ονομάζεται καμπύλη καμπάνας.

Γιατί να το ονομάσουμε καμπύλη καμπάνας; Η καμπύλη καμπάνας παίρνει το όνομά της απλά επειδή το σχήμα της μοιάζει με το κουδούνι. Αυτές οι καμπύλες εμφανίζονται σε όλη τη μελέτη των στατιστικών στοιχείων και η σημασία τους δεν μπορεί να υπερκεραστεί.

Για να είμαστε τεχνικοί, τα είδη των καμπυλών κουδουνιών που μας ενδιαφέρουν περισσότερο στα στατιστικά στοιχεία ονομάζονται κανονικά κατανομών πιθανοτήτων. Για όσα ακολουθούν θα υποθέσουμε ότι οι καμπύλες κουδουνιών που μιλάμε είναι κανονικές κατανομές πιθανοτήτων. Παρά το όνομα "καμπύλη καμπάνας", αυτές οι καμπύλες δεν καθορίζονται από το σχήμα τους. Αντ 'αυτού, μια εκφοβιστική εμφάνιση τύπος χρησιμοποιείται ως τυπικός ορισμός για καμπύλες καμπάνας.

Αλλά πραγματικά δεν χρειάζεται να ανησυχούμε πάρα πολύ για τη φόρμουλα. Οι μόνοι δύο αριθμοί που μας ενδιαφέρουν είναι η μέση και τυπική απόκλιση. Η καμπύλη καμπάνας για ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων έχει το κέντρο που βρίσκεται στο μέσο όρο. Αυτό είναι όπου βρίσκεται το υψηλότερο σημείο της καμπύλης ή "κορυφή του κουδουνιού". Η τυπική απόκλιση μιας συνόλης δεδομένων καθορίζει τον τρόπο εξάπλωσης της καμπύλης καμπάνας μας. Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο πιο εκτεταμένη είναι η καμπύλη.

Υπάρχουν πολλά χαρακτηριστικά των καμπύλων κουδουνιών που είναι σημαντικά και τα διακρίνει από άλλες καμπύλες στις στατιστικές:

• Μια καμπύλη καμπάνας έχει έναν τρόπο, ο οποίος συμπίπτει με τον μέσο και το διάμεσο. Αυτό είναι το κέντρο της καμπύλης όπου βρίσκεται στην υψηλότερη.
• Μια καμπύλη καμπάνας είναι συμμετρική. Εάν διπλώνονταν κατά μήκος μιας κάθετης γραμμής στο μέσον, και τα δύο μισά θα ταιριάζουν απόλυτα επειδή είναι είδωλα καθρέφτη ο ένας του άλλου.
• Μια καμπύλη καμπάνας ακολουθεί τον κανόνα 68-95-99.7, ο οποίος παρέχει έναν βολικό τρόπο για να πραγματοποιήσετε εκτιμημένους υπολογισμούς:
  • Περίπου το 68% όλων των δεδομένων βρίσκεται εντός μιας τυπικής απόκλισης του μέσου όρου.
  • Περίπου το 95% όλων των δεδομένων βρίσκεται εντός δύο τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου.
  • Περίπου το 99,7% των δεδομένων είναι εντός τριών τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου.

Αν γνωρίζουμε ότι μια καμπύλη καμπάνας μοντελοποιεί τα δεδομένα μας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω χαρακτηριστικά της καμπύλης καμπάνας για να πούμε αρκετά. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα δοκιμής, ας υποθέσουμε ότι έχουμε 100 μαθητές που έλαβαν στατιστική δοκιμασία με μέση βαθμολογία 70 και τυπική απόκλιση 10.

Η τυπική απόκλιση είναι 10. Αφαιρέστε και προσθέστε 10 στο μέσο. Αυτό μας δίνει 60 και 80. Με τον κανόνα 68-95-99.7 θα περίμενε περίπου το 68% των 100, ή 68 μαθητές να βαθμολογήσουν μεταξύ 60 και 80 για τη δοκιμή.

Δυο φορές η τυπική απόκλιση είναι 20. Αν αφαιρέσουμε και προσθέσουμε 20 στο μέσο έχουμε 50 και 90. Θα περίμενε περίπου το 95% των 100 ή 95 μαθητών να βαθμολογήσουν μεταξύ 50 και 90 για τη δοκιμή.

Ένας παρόμοιος υπολογισμός μας λέει ότι αποτελεσματικά ο καθένας σκόραρε μεταξύ 40 και 100 για τη δοκιμή.

Υπάρχουν πολλές εφαρμογές για καμπύλες καμπάνας. Είναι σημαντικές στις στατιστικές, επειδή υποδείκνυαν μια μεγάλη ποικιλία δεδομένων πραγματικού κόσμου. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα αποτελέσματα των δοκιμών είναι ένα μέρος όπου εμφανίζονται. Ακολουθούν ορισμένοι άλλοι:

• Επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός μέρους του εξοπλισμού
• Μετρήσεις χαρακτηριστικών στη βιολογία
• Προσέγγιση τυχαίων γεγονότων όπως η ανατροπή ενός νομίσματος αρκετές φορές
• Τα ύψη των μαθητών σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο βαθμού σε μια σχολική συνοικία

Παρόλο που υπάρχουν αμέτρητες εφαρμογές καμπύλων καμπάνας, δεν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις. Ορισμένα σύνολα στατιστικών δεδομένων, όπως η αποτυχία εξοπλισμού ή οι κατανομές εισοδήματος, έχουν διαφορετικά σχήματα και δεν είναι συμμετρικά. Άλλες φορές μπορεί να υπάρχουν δύο ή περισσότεροι τρόποι, όπως όταν πολλοί μαθητές κάνουν πολύ καλά και αρκετοί κάνουν πολύ κακή δοκιμή. Αυτές οι εφαρμογές απαιτούν τη χρήση άλλων καμπυλών που ορίζονται διαφορετικά από την καμπύλη του κουδουνιού. Οι γνώσεις σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο λήφθηκε το σύνολο των εν λόγω δεδομένων μπορούν να βοηθήσουν να προσδιοριστεί αν πρέπει να χρησιμοποιηθεί καμπύλη καμπάνας για την αναπαράσταση των δεδομένων ή όχι.