Ποια είναι η αρνητική διωνυμική διανομή;

Η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι α κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται με διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Αυτός ο τύπος διανομής αφορά τον αριθμό των δοκιμών που πρέπει να πραγματοποιηθούν προκειμένου να υπάρξει ένας προκαθορισμένος αριθμός επιτυχιών. Όπως θα δούμε, η αρνητική διωνυμική κατανομή σχετίζεται με το διωνυμική κατανομή. Επιπλέον, αυτή η κατανομή γενικεύει τη γεωμετρική κατανομή.

Θα ξεκινήσουμε εξετάζοντας τόσο το περιβάλλον όσο και τις συνθήκες που δημιουργούν αρνητική διωνυμική κατανομή. Πολλές από αυτές τις συνθήκες είναι πολύ παρόμοιες με μια διωνυμική ρύθμιση.

1. Έχουμε ένα πείραμα Bernoulli. Αυτό σημαίνει ότι κάθε δοκιμή που εκτελούμε έχει μια καλά καθορισμένη επιτυχία και αποτυχία και ότι αυτά είναι τα μόνα αποτελέσματα.
2. Η πιθανότητα επιτυχίας είναι σταθερή ανεξάρτητα από το πόσες φορές πραγματοποιούμε το πείραμα. Υποδηλώνουμε αυτή τη σταθερή πιθανότητα με a Π.
3. Το πείραμα επαναλαμβάνεται Χ ανεξάρτητες δοκιμές, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν έχει καμία επίδραση στην έκβαση μιας επόμενης δοκιμής.

Αυτές οι τρεις συνθήκες είναι πανομοιότυπες με αυτές σε διωνυμική κατανομή. Η διαφορά είναι ότι μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή έχει σταθερό αριθμό δοκιμών n. Οι μόνες τιμές του Χ είναι 0, 1, 2,..., n, έτσι είναι μια πεπερασμένη κατανομή.

Μία αρνητική διωνυμική κατανομή αφορά τον αριθμό των δοκιμών Χ που πρέπει να συμβεί μέχρι να έχουμε r επιτυχίες. Ο αριθμός r είναι ένας ολόκληρος αριθμός που επιλέγουμε πριν αρχίσουμε να κάνουμε τις δοκιμές μας. Η τυχαία μεταβλητή Χ εξακολουθεί να είναι διακριτή. Ωστόσο, τώρα η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές του Χ = r, r + 1, r + 2,... Αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι απεριόριστα, καθώς θα μπορούσε να πάρει αυθαίρετα πολύ χρόνο πριν αποκτήσουμε r επιτυχίες.

Για να βοηθήσετε να κατανοήσετε μια αρνητική διωνυμική κατανομή, αξίζει να εξετάσετε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ανεβάζουμε ένα δίκαιο κέρμα και θέτουμε την ερώτηση: "Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε τρία κεφάλια στην πρώτη Χ κερδοφόρα νομίσματα; "Αυτή είναι μια κατάσταση που απαιτεί μια αρνητική διωνυμική κατανομή.

Οι ανατροπές κερμάτων έχουν δύο πιθανά αποτελέσματα, η πιθανότητα επιτυχίας είναι σταθερή 1/2, και οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες το ένα από το άλλο. Ζητούμε την πιθανότητα να πάρουμε τα τρία πρώτα κεφάλια μετά Χ το κέρμα στρέφεται. Έτσι πρέπει να αναστρέψουμε το κέρμα τουλάχιστον τρεις φορές. Στη συνέχεια κρατάμε το flipping μέχρι να εμφανιστεί το τρίτο κεφάλι.

Για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες που σχετίζονται με αρνητική διωνυμική κατανομή, χρειαζόμαστε κάποιες περισσότερες πληροφορίες. Πρέπει να γνωρίζουμε τη λειτουργία μάζας πιθανότητας.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για μια αρνητική διωνυμική κατανομή μπορεί να αναπτυχθεί με λίγη σκέψη. Κάθε δοκιμή έχει πιθανότητα επιτυχίας Π. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο δυο πιθανά αποτελέσματα, αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα αποτυχίας είναι σταθερή (1 - Π ).

ο rη επιτυχία πρέπει να συμβεί για το Χκαι τελική δοκιμή. Την προηγουμενη Χ - 1 δοκιμές πρέπει να περιέχουν ακριβώς r - 1 επιτυχίες. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί αυτό οφείλεται στον αριθμό των συνδυασμών:

ΝΤΟ(Χ - 1, r -1) = (χ - 1) 1 / [(r - 1) 1 (x - r)!].

Εκτός αυτού έχουμε και ανεξάρτητα γεγονότα και έτσι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις πιθανότητές μας μαζί. Κάνοντας όλα αυτά μαζί, έχουμε την συνάρτηση μάζας πιθανότητας

φά(Χ) = C (Χ - 1, r -1) Π^r(1 - Π)^{Χ - r}.

Τώρα είμαστε σε θέση να καταλάβουμε γιατί αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει αρνητική διωνυμική κατανομή. Ο αριθμός των συνδυασμών που συναντήσαμε παραπάνω μπορεί να γραφτεί διαφορετικά με ρύθμιση x - r = k:

(x-1) 1 / [(r-1) 1 (x - r)!] = (x + k - 1) 1 / [(r - 1)! κ!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /κ! = (-1)^κ(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

Εδώ βλέπουμε την εμφάνιση ενός αρνητικού διωνυμικού συντελεστή, ο οποίος χρησιμοποιείται όταν δημιουργούμε μια δυαδική έκφραση (a + b) σε μια αρνητική ισχύ.

Ο μέσος όρος της διανομής είναι σημαντικός για να γνωρίζουμε γιατί είναι ένας τρόπος για να υποδηλώσει το κέντρο της διανομής. Ο μέσος όρος αυτού του τύπου τυχαίας μεταβλητής δίνεται από την αναμενόμενη τιμή του και είναι ίσος με r / Π. Μπορούμε να το αποδείξουμε προσεκτικά χρησιμοποιώντας το λειτουργία δημιουργίας στιγμών για αυτή τη διανομή.

Η διαίσθηση μας καθοδηγεί σε αυτή την έκφραση. Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε μια σειρά δοκιμών n₁ έως ότου αποκτήσουμε r επιτυχίες. Και τότε το κάνουμε ξανά, μόνο αυτή τη φορά n₂ δοκιμές. Συνεχίζουμε αυτό ξανά και ξανά, μέχρι να έχουμε μεγάλο αριθμό ομάδων δοκιμών Ν = n₁ + n₂ +... +n_κ.

Καθένα από αυτά κ δοκιμές περιέχει r επιτυχίες, και έτσι έχουμε συνολικά kr επιτυχίες. Αν Ν είναι μεγάλη, τότε θα περίμενε κανείς να δει Np επιτυχίες. Έτσι τα συνδυάζουμε και έχουμε kr = Np.

Κάνουμε κάποια άλγεβρα και το βρίσκουμε Ν / κ = r / ρ. Το κλάσμα στην αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι ο μέσος αριθμός των δοκιμών που απαιτούνται για καθένα από μας κ ομάδες δοκιμών. Με άλλα λόγια, αυτός είναι ο αναμενόμενος αριθμός χρόνων για να εκτελέσετε το πείραμα, ώστε να έχουμε συνολικά r επιτυχίες. Αυτή είναι ακριβώς η προσδοκία που θέλουμε να βρούμε. Βλέπουμε ότι αυτό είναι ίσο με τον τύπο r / p.

Η διακύμανση της αρνητικής διωνυμικής κατανομής μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής. Όταν το κάνουμε αυτό βλέπουμε ότι η διακύμανση αυτής της κατανομής δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

r (1- Π)/Π²

Η λειτουργία δημιουργίας στιγμής για αυτόν τον τύπο τυχαίας μεταβλητής είναι πολύ περίπλοκη. Θυμηθείτε ότι η λειτουργία δημιουργίας στιγμής ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή E [e^tX]. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό με τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας, έχουμε:

Μ (ί) = Ε [π.χ.^tX] = Σ (x - 1) / / (r - 1) (x - r)!]μι^tXΠ^r(1 - Π)^{Χ - r}

Μετά από κάποια άλγεβρα γίνεται M (t) = (pe^t)^r[1- (1- ρ) ε^t]^-r

Έχουμε δει παραπάνω πώς η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι παρόμοια με πολλούς τρόπους με την διωνυμική κατανομή. Εκτός από αυτή τη σύνδεση, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια πιο γενική έκδοση μιας γεωμετρικής κατανομής.

Μια γεωμετρική τυχαία μεταβλητή Χ υπολογίζει τον αριθμό των δοκιμών που απαιτούνται πριν από την πρώτη επιτυχία. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή είναι ακριβώς η αρνητική διωνυμική κατανομή, αλλά με r ίσο με ένα.

Υπάρχουν και άλλες συνθέσεις της αρνητικής διωνυμικής κατανομής. Ορισμένα βιβλία καθορίζουν Χ να είναι ο αριθμός των δοκιμών έως r παρουσιάζονται αποτυχίες.

Θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα προβλήματος για να δούμε πώς να δουλέψουμε με την αρνητική διωνυμική κατανομή. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης μπάσκετ είναι ένας σκοπευτής 80% ελεύθερης ρίψης. Επιπλέον, υποθέστε ότι η πραγματοποίηση μιας ελεύθερης βολής είναι ανεξάρτητη από την πραγματοποίηση της επόμενης. Ποια είναι η πιθανότητα ότι για αυτόν τον παίκτη το όγδοο καλάθι θα γίνει στη δέκατη ελεύθερη βολή;

Βλέπουμε ότι έχουμε μια ρύθμιση για μια αρνητική διωνυμική κατανομή. Η σταθερή πιθανότητα επιτυχίας είναι 0,8 και επομένως η πιθανότητα αποτυχίας είναι 0,2. Θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα του Χ = 10 όταν r = 8.

Συνδέουμε αυτές τις τιμές στη λειτουργία μάζας πιθανότητας:

f (10) = C (10-1, 8-1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², που είναι περίπου 24%.

Θα μπορούσαμε τότε να ρωτήσουμε ποιος είναι ο μέσος αριθμός των ελεύθερων βολών που τραβήχτηκαν πριν αυτός ο παίκτης κάνει οκτώ από αυτούς. Δεδομένου ότι η αναμενόμενη τιμή είναι 8 / 0.8 = 10, αυτός είναι ο αριθμός των λήψεων.