Φύλλο εργασίας για την ανισότητα του Chebyshev

Ανισότητα του Chebyshev λέει ότι τουλάχιστον 1 -1 /κ² των δεδομένων από ένα δείγμα πρέπει να εμπίπτει κτυπικές αποκλίσεις από το σημαίνω, πουκ είναι θετική πραγματικός αριθμός μεγαλύτερο από ένα. Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τη μορφή της διανομής των δεδομένων μας. Με μόνο τη μέση και τυπική απόκλιση, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα των δεδομένων ενός ορισμένου αριθμού τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο.

Ακολουθούν ορισμένα προβλήματα στην πρακτική χρησιμοποιώντας την ανισότητα.

Μια κατηγορία δεύτερων ισοπεδωτών έχει μέσο ύψος πέντε ποδιών με τυπική απόκλιση μιας ίντσας. Τουλάχιστον ποιο ποσοστό της τάξης πρέπει να είναι μεταξύ 4'10 "και 5'2";

Τα ύψη που δίνονται στην παραπάνω περιοχή βρίσκονται εντός δύο τυπικών αποκλίσεων από το μέσο ύψος των πέντε ποδιών. Η ανισότητα του Chebyshev λέει ότι τουλάχιστον 1 - 1/2² = 3/4 = 75% της κατηγορίας βρίσκεται στο δεδομένο ύψος.

Οι υπολογιστές από μια συγκεκριμένη εταιρεία διαπιστώθηκε ότι διαρκούν κατά μέσο όρο για τρία χρόνια χωρίς δυσλειτουργία υλικού, με τυπική απόκλιση δύο μηνών. Τουλάχιστον τι ποσοστό των υπολογιστών διαρκεί μεταξύ 31 μηνών και 41 μηνών;

Η μέση διάρκεια ζωής των τριών ετών αντιστοιχεί σε 36 μήνες. Οι χρόνοι 31 μηνών έως 41 μηνών είναι εκάστοτε 5/2 = 2,5 τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο όρο. Με την ανισότητα του Chebyshev, τουλάχιστον 1 - 1 / (2,5) 6² = 84% των υπολογιστών διαρκεί από 31 μήνες έως 41 μήνες.

Τα βακτήρια σε μια καλλιέργεια ζουν για έναν μέσο χρόνο τριών ωρών με τυπική απόκλιση 10 λεπτών. Τουλάχιστον ποιο κλάσμα των βακτηρίων ζουν μεταξύ δύο και τεσσάρων ωρών;

Δύο και τέσσερις ώρες απέχουν μία ώρα από τη μέση. Μια ώρα αντιστοιχεί σε έξι τυπικές αποκλίσεις. Τουλάχιστον 1 - 1/6² = 35/36 = 97% των βακτηριδίων ζουν μεταξύ δύο και τεσσάρων ωρών.

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο που πρέπει να κάνουμε αν θέλουμε να διασφαλίσουμε ότι έχουμε τουλάχιστον το 50% των στοιχείων μιας διανομής;

Εδώ χρησιμοποιούμε την ανισότητα του Chebyshev και δουλεύουμε προς τα πίσω. Θέλουμε 50% = 0.50 = 1/2 = 1 - 1 /κ². Ο στόχος είναι να χρησιμοποιήσετε την άλγεβρα για να λύσετε κ.

Βλέπουμε ότι 1/2 = 1 /κ². Διασταύρωση πολλαπλασιάστε και δείτε ότι 2 =κ². Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα αμφοτέρων των πλευρών και από τότε κ είναι μια σειρά τυπικών αποκλίσεων, αγνοούμε την αρνητική λύση στην εξίσωση. Αυτό δείχνει ότι κ είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα των δύο. Επομένως τουλάχιστον το 50% των δεδομένων είναι εντός περίπου 1,4 τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο.

Η διαδρομή λεωφορείου # 25 διαρκεί 50 λεπτά με τυπική απόκλιση 2 λεπτών. Μια διαφημιστική αφίσα για αυτό το σύστημα διαύλου δηλώνει ότι "το 95% της διαδρομής του λεωφορείου # 25 διαρκεί από ____ έως _____ λεπτά". Με ποιους αριθμούς θα συμπληρώσατε τα κενά;

Αυτή η ερώτηση είναι παρόμοια με την τελευταία που πρέπει να επιλύσουμε κ, ο αριθμός των τυπικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο. Ξεκινήστε ρυθμίζοντας το 95% = 0.95 = 1 - 1 /κ². Αυτό δείχνει ότι 1 - 0.95 = 1 /κ². Απλοποιήστε για να δείτε ότι 1 / 0.05 = 20 = κ². Έτσι κ = 4.47.

Τώρα το εκφράστε στους παραπάνω όρους. Τουλάχιστον το 95% όλων των βόλτων είναι 4,47 τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο χρόνο των 50 λεπτών. Πολλαπλασιάστε 4,47 με την τυπική απόκλιση των 2 για να καταλήξετε με εννέα λεπτά. Έτσι το 95% του χρόνου, η διαδρομή # 25 του λεωφορείου διαρκεί μεταξύ 41 και 59 λεπτά.