Ένα σημαντικό μέρος των στατιστικών συμπερασμάτων είναι η δοκιμή των υποθέσεων. Όπως και με την εκμάθηση οτιδήποτε σχετίζεται με τα μαθηματικά, είναι χρήσιμο να εργαστούμε μέσω διαφόρων παραδειγμάτων. Τα παρακάτω εξετάζουν ένα παράδειγμα μιας δοκιμασίας υποθέσεων και υπολογίζουν την πιθανότητα σφάλματα τύπου Ι και τύπου ΙΙ.
Θα υποθέσουμε ότι οι απλές συνθήκες κρατούν. Πιο συγκεκριμένα θα υποθέσουμε ότι έχουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα από έναν πληθυσμό που είναι είτε διανέμονται κανονικά ή έχει ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος που μπορούμε να εφαρμόσουμε κεντρικό όριο όριο. Θα υποθέσουμε επίσης ότι γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού.
Δήλωση του προβλήματος
Μια τσάντα από πατατάκια συσκευάζεται κατά βάρος. Συνολικά αγοράζονται εννέα σακούλες, ζυγίζονται και το μέσο βάρος αυτών των εννέα σακουλών είναι 10,5 ουγκιές. Υποθέστε ότι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού όλων αυτών των σάκων τσιπ είναι 0,6 ουγκιές. Το βάρος που δηλώνεται σε όλα τα πακέτα είναι 11 ουγγιές. Ορίστε ένα επίπεδο σπουδαιότητας στο 0,01.
ερώτηση 1
Το δείγμα υποστηρίζει την υπόθεση ότι ο πραγματικός πληθυσμός σημαίνει λιγότερο από 11 ουγγιές;
Εχουμε ένα Δοκιμή χαμηλότερης ουράς. Αυτό φαίνεται από τη δήλωση του μας μηδενικές και εναλλακτικές υποθέσεις:
- H0: μ=11.
- Hένα: μ < 11.
Η στατιστική δοκιμής υπολογίζεται από τον τύπο
z = (Χ-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Τώρα πρέπει να καθορίσουμε πόσο πιθανή είναι αυτή η τιμή z οφείλεται μόνο στην τύχη. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα του z-scores βλέπουμε ότι η πιθανότητα ότι z είναι μικρότερη ή ίση με -2,5 είναι 0,0062. Δεδομένου ότι αυτή η τιμή p είναι μικρότερη από την τιμή επίπεδο σημασίας, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και αποδεχόμαστε την εναλλακτική υπόθεση. Το μέσο βάρος όλων των σάκων των τσιπ είναι μικρότερο από 11 ουγγιές.
Ερώτηση 2
Ποια είναι η πιθανότητα ενός σφάλματος τύπου Ι;
Ένα σφάλμα τύπου Ι εμφανίζεται όταν απορρίπτουμε μια υπόθεση null που είναι αληθής. Η πιθανότητα ενός τέτοιου σφάλματος είναι ίση με το επίπεδο σημαντικότητας. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε ένα επίπεδο σημαντικότητας ίσο με το 0,01, επομένως αυτή είναι η πιθανότητα ενός σφάλματος τύπου Ι.
Ερώτημα 3
Εάν ο μέσος πληθυσμός είναι στην πραγματικότητα 10,75 ουγγιές, ποια είναι η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ;
Αρχίζουμε με την αναδιατύπωση του κανόνα απόφασής μας ως προς το μέσο δείγμα. Για ένα επίπεδο σημαντικότητας 0,01, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση όταν z < -2.33. Συνδέοντας αυτή την τιμή στον τύπο για τις στατιστικές δοκιμής, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση όταν
(Χ-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
Αντίστοιχα, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση όταν 11 - 2.33 (0.2)> Χ-bar ή όταν Χ-bar είναι μικρότερη από 10.534. Δεν αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση για Χ-γραμμή μεγαλύτερη ή ίση με 10.534. Εάν ο πραγματικός μέσος πληθυσμός είναι 10,75, τότε η πιθανότητα ότι Χ-bar είναι μεγαλύτερη ή ίση με 10.534 είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα ότι z είναι μεγαλύτερο ή ίσο με -0,22. Αυτή η πιθανότητα, η οποία είναι η πιθανότητα ενός σφάλματος τύπου ΙΙ, είναι ίση με 0,587.