Παράδειγμα διαστήματος εμπιστοσύνης για διακύμανση

Η διακύμανση του πληθυσμού δίνει μια ένδειξη για το πώς να εξαπλωθεί ένα σύνολο δεδομένων. Δυστυχώς, είναι συνήθως αδύνατο να γνωρίζουμε ακριβώς ποια είναι αυτή η παράμετρος του πληθυσμού. Για να αντισταθμίσουμε την έλλειψη γνώσης μας, χρησιμοποιούμε ένα θέμα από τα στατιστικά συμπερασμάτων που ονομάζονται διαστήματα εμπιστοσύνης. Θα δούμε ένα παράδειγμα για τον υπολογισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για μια διακύμανση του πληθυσμού.

Ο τύπος για την (1 - α) διάστημα εμπιστοσύνης σχετικά με τη διακύμανση του πληθυσμού. Δίνεται από την ακόλουθη σειρά ανισοτήτων:

[ (n - 1)μικρό²] / σι < σ² < [ (n - 1)μικρό²] / ΕΝΑ.

Εδώ n είναι το μέγεθος του δείγματος, μικρό² είναι η διακύμανση του δείγματος. Ο αριθμός ΕΝΑ είναι το σημείο της διανομής chi-square με n -1 βαθμοί ελευθερίας στο οποίο ακριβώς α / 2 της περιοχής κάτω από την καμπύλη είναι στα αριστερά του ΕΝΑ. Με παρόμοιο τρόπο, ο αριθμός σι είναι το σημείο της ίδιας χ-τετραγωνικής κατανομής με ακριβώς α / 2 της περιοχής κάτω από την καμπύλη στα δεξιά του σι.

Αρχίζουμε με ένα σύνολο δεδομένων με 10 τιμές. Αυτό το σύνολο τιμών δεδομένων ελήφθη με ένα απλό τυχαίο δείγμα:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

Θα χρειαζόταν κάποια ανάλυση διερευνητικών δεδομένων για να δείξει ότι δεν υπάρχουν αποδόσεις. Με την κατασκευή ενός στέλεχος και φύλλα βλέπουμε ότι αυτά τα δεδομένα είναι πιθανό από μια διανομή που περίπου κανονικά διανέμεται. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να προχωρήσουμε στην εύρεση ενός διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη διακύμανση του πληθυσμού.

Πρέπει να υπολογίσουμε τη μεταβλητότητα του πληθυσμού με τη διακύμανση του δείγματος, που υποδηλώνεται με μικρό². Αρχίζουμε με τον υπολογισμό αυτού του στατιστικού στοιχείου. Ουσιαστικά είμαστε κατά μέσο όρο το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από τη μέση. Ωστόσο, αντί να διαιρέσετε αυτό το ποσό από n το χωρίζουμε n - 1.

Διαπιστώνουμε ότι ο μέσος όρος του δείγματος είναι 104,2. Χρησιμοποιώντας αυτό, έχουμε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από το μέσο που δίνεται από:

(97 – 104.2)² + (75 – 104.3)² +... + (96 – 104.2)² + (102 – 104.2)² = 2495.6

Διαχωρίζουμε αυτό το ποσό κατά 10 - 1 = 9 για να λάβουμε μια διακύμανση δείγματος 277.

Τώρα στραφούμε προς τη διανομή chi-square. Δεδομένου ότι έχουμε 10 τιμές δεδομένων, έχουμε 9 βαθμοί ελευθερίας. Δεδομένου ότι θέλουμε το μεσαίο 95% της διανομής μας, χρειαζόμαστε 2,5% σε κάθε μία από τις δύο ουρές. Αναζητάμε ένα τραπέζι ή λογισμικό chi-square και βλέπουμε ότι οι τιμές του πίνακα 2.7004 και 19.023 περιβάλλουν το 95% της περιοχής διανομής. Αυτοί οι αριθμοί είναι ΕΝΑ και σι, αντίστοιχα.

Τώρα έχουμε όλα όσα χρειαζόμαστε και είμαστε έτοιμοι να συγκεντρώσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης μας. Ο τύπος για το αριστερό τελικό σημείο είναι [(n - 1)μικρό²] / σι. Αυτό σημαίνει ότι το αριστερό μας τελικό σημείο είναι:

(9 χ 277) / 19.023 = 133

Το σωστό τελικό σημείο βρίσκεται με αντικατάσταση σι με ΕΝΑ:

(9 χ 277) /2.7004 = 923

Και έτσι είμαστε 95% σίγουροι ότι η διακύμανση του πληθυσμού κυμαίνεται μεταξύ 133 και 923.

Φυσικά, δεδομένου ότι η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, αυτή η μέθοδος θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την τυπική απόκλιση του πληθυσμού. Το μόνο που θα πρέπει να κάνουμε είναι να πάρουμε τις τετραγωνικές ρίζες των τελικών σημείων. Το αποτέλεσμα θα ήταν ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το τυπική απόκλιση.