Διωνυμικός πίνακας για n = 10 και n = 11

Από όλους διακεκριμένος τυχαίες μεταβλητές, μία από τις πιο σημαντικές λόγω των εφαρμογών της είναι μια δυαδική τυχαία μεταβλητή. Η διωνυμική κατανομή, η οποία δίνει τις πιθανότητες για τις τιμές αυτού του τύπου μεταβλητής, προσδιορίζεται πλήρως από δύο παραμέτρους: n και Π. Εδώ n είναι ο αριθμός των δοκιμών και Π είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε αυτή τη δοκιμή. Οι παρακάτω πίνακες είναι για n = 10 και 11. Οι πιθανότητες σε κάθε ένα είναι στρογγυλοποιημένες στα τρία δεκαδικά ψηφία.

Πρέπει πάντα να ρωτάμε εάν πρέπει να χρησιμοποιηθεί διωνυμική κατανομή. Προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε διωνυμική διανομή, θα πρέπει να ελέγξουμε και να διαπιστώσουμε ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. Έχουμε ένα πεπερασμένο αριθμό παρατηρήσεων ή δοκιμών.
2. Το αποτέλεσμα της δοκιμασίας διδασκαλίας μπορεί να χαρακτηριστεί ως επιτυχία ή αποτυχία.
3. Η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει σταθερή.
4. Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες το ένα από το άλλο.

ο διωνυμική κατανομή δίνει την πιθανότητα r επιτυχίες σε ένα πείραμα με ένα σύνολο

Ο πίνακας ρυθμίζεται από τις τιμές του Π και του r. Υπάρχει διαφορετικός πίνακας για κάθε τιμή του n.

Για άλλους πίνακες διωνυμικής διανομής έχουμε n = 2 έως 6, n = 7 έως 9. Για καταστάσεις στις οποίες np και n(1 - Π) είναι μεγαλύτερες ή ίσες με 10, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κανονική προσέγγιση στην διωνυμική κατανομή. Στην περίπτωση αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλή και δεν απαιτεί τον υπολογισμό των διωνυμικών συντελεστών. Αυτό παρέχει ένα μεγάλο πλεονέκτημα επειδή αυτοί οι διωνυμικοί υπολογισμοί μπορούν να εμπλακούν αρκετά.

Το παρακάτω παράδειγμα από γενεσιολογία θα δείξει πώς να χρησιμοποιήσει τον πίνακα. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε την πιθανότητα ότι ένας απόγονος θα κληρονομήσει δύο αντίγραφα ενός υπολειπόμενου γονιδίου (και επομένως θα καταλήξει στο υπολειπόμενο χαρακτηριστικό) είναι 1/4.

Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ότι ένα συγκεκριμένο αριθμό παιδιών σε μια οικογένεια δέκα μελών διαθέτει αυτό το χαρακτηριστικό. Αφήνω Χ να είναι ο αριθμός των παιδιών με αυτό το χαρακτηριστικό. Εξετάζουμε το τραπέζι για n = 10 και η στήλη με Π = 0,25 και δείτε την ακόλουθη στήλη:

.056, .188, .282, .250, .146, .058, .016, .003

Αυτό σημαίνει για το παράδειγμά μας αυτό

• P (X = 0) = 5,6%, που είναι η πιθανότητα ότι κανένα από τα παιδιά δεν έχει το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 1) = 18,8%, που είναι η πιθανότητα ένα από τα παιδιά να έχει το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 2) = 28,2%, που είναι η πιθανότητα ότι δύο από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 3) = 25,0%, που είναι η πιθανότητα ότι τα τρία παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 4) = 14,6%, που είναι η πιθανότητα ότι τέσσερα από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 5) = 5,8%, που είναι η πιθανότητα ότι πέντε από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 6) = 1,6%, που είναι η πιθανότητα ότι έξι από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.
• P (X = 7) = 0,3%, που είναι η πιθανότητα ότι επτά από τα παιδιά έχουν το υπολειπόμενο χαρακτηριστικό.

n = 10

n = 11