Μια χρήση ενός chi-τετραγωνική κατανομή είναι με δοκιμές υποθέσεων για πειράματα πολυεθνικών. Για να δείτε πώς δοκιμή υποθέσεων έργα, θα διερευνήσουμε τα ακόλουθα δύο παραδείγματα. Και τα δύο παραδείγματα λειτουργούν με το ίδιο σύνολο βημάτων:
- Δημιουργήστε τις μηδενικές και εναλλακτικές υποθέσεις
- Υπολογίστε το στατιστικό αποτέλεσμα της δοκιμής
- Βρείτε την κρίσιμη τιμή
- Λάβετε μια απόφαση για το αν θα απορρίψουμε ή θα απορρίψουμε την μηδενική μας υπόθεση.
Παράδειγμα 1: Ένα δίκαιο κέρμα
Για το πρώτο μας παράδειγμα, θέλουμε να δούμε ένα νόμισμα. Ένα δίκαιο κέρμα έχει ίσες πιθανότητες για το 1/2 των επερχόμενων κεφαλιών ή ουρών. Πετάμε ένα κέρμα 1000 φορές και καταγράψουμε τα αποτελέσματα από ένα σύνολο 580 κεφαλών και 420 ουρές. Θέλουμε να δοκιμάσουμε την υπόθεση με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%, ότι το κέρμα που ανοίξαμε είναι δίκαιο. Πιο τυπικά, το μηδενική υπόθεσηH0 είναι ότι το κέρμα είναι δίκαιο. Δεδομένου ότι συγκρίνουμε τις παρατηρούμενες συχνότητες των αποτελεσμάτων από την ανάληψη των κερμάτων στις αναμενόμενες συχνότητες από ένα εξιδανικευμένο δίκαιο κέρμα, πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια δοκιμή chi-square.
Υπολογίστε την στατιστική Chi-Square
Αρχίζουμε υπολογίζοντας την στατιστική chi-square για αυτό το σενάριο. Υπάρχουν δύο γεγονότα, κεφάλια και ουρές. Οι κεφαλές έχουν παρατηρηθείσα συχνότητα φά1 = 580 με αναμενόμενη συχνότητα μι1 = 50% χ 1000 = 500. Τα ουρά έχουν παρατηρηθείσα συχνότητα φά2 = 420 με αναμενόμενη συχνότητα μι1 = 500.
Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο για την chi-square στατιστική και βλέπουμε ότι χ2 = (φά1 - μι1 )2/μι1 + (φά2 - μι2 )2/μι2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Βρείτε την κρίσιμη τιμή
Στη συνέχεια, πρέπει να βρούμε την κρίσιμη τιμή για την σωστή διανομή chi-square. Δεδομένου ότι υπάρχουν δύο αποτελέσματα για το κέρμα, υπάρχουν δύο κατηγορίες που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ο αριθμός των βαθμοί ελευθερίας είναι μικρότερη από τον αριθμό των κατηγοριών: 2 - 1 = 1. Χρησιμοποιούμε την κατανομή chi-square για αυτόν τον αριθμό βαθμών ελευθερίας και βλέπουμε ότι χ20.95=3.841.
Απόρριψη ή αποτυχία απόρριψης;
Τέλος, συγκρίνουμε την υπολογισμένη στατιστική chi-square με την κρίσιμη τιμή από τον πίνακα. Από 25,6> 3,841, απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση ότι αυτό είναι ένα δίκαιο κέρμα.
Παράδειγμα 2: Μια δίκαιη πεθαίνουν
Μια δίκαιη πεθαίνουν έχει ίσες πιθανότητες 1/6 να κυλήσει ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε ή έξι. Πετάμε 600 φορές μια πεθαίνουν και σημειώνουμε ότι έχουμε ένα 106 φορές, δύο 90 φορές, τρεις 98 φορές, τέσσερις 102 φορές, πέντε 100 φορές και έξι 104 φορές. Θέλουμε να δοκιμάσουμε την υπόθεση σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ότι έχουμε ένα δίκαιο θάνατο.
Υπολογίστε την στατιστική Chi-Square
Υπάρχουν έξι συμβάντα, κάθε ένα με αναμενόμενη συχνότητα 1/6 x 600 = 100. Οι παρατηρούμενες συχνότητες είναι φά1 = 106, φά2 = 90, φά3 = 98, φά4 = 102, φά5 = 100, φά6 = 104,
Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο για την chi-square στατιστική και βλέπουμε ότι χ2 = (φά1 - μι1 )2/μι1 + (φά2 - μι2 )2/μι2+ (φά3 - μι3 )2/μι3+(φά4 - μι4 )2/μι4+(φά5 - μι5 )2/μι5+(φά6 - μι6 )2/μι6 = 1.6.
Βρείτε την κρίσιμη τιμή
Στη συνέχεια, πρέπει να βρούμε την κρίσιμη τιμή για την σωστή διανομή chi-square. Δεδομένου ότι υπάρχουν έξι κατηγορίες αποτελεσμάτων για το die, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι ένας μικρότερος από αυτόν: 6 - 1 = 5. Χρησιμοποιούμε την διανομή chi-square για πέντε βαθμούς ελευθερίας και βλέπουμε ότι χ20.95=11.071.
Απόρριψη ή αποτυχία απόρριψης;
Τέλος, συγκρίνουμε την υπολογισμένη στατιστική chi-square με την κρίσιμη τιμή από τον πίνακα. Δεδομένου ότι η υπολογισμένη στατιστική chi-square είναι 1,6 είναι μικρότερη από την κρίσιμη τιμή μας 11.071, εμείς αποτυγχάνουν να απορρίψουν η μηδενική υπόθεση.