Πιθανότητα ενός μικρού ευθεία στο Yahtzee σε ένα ρολό

Το Yahtzee είναι ένα παιχνίδι με ζάρια που χρησιμοποιεί πέντε στάνταρ ζάρια με έξι όψεις. Σε κάθε στροφή, οι παίκτες δίνονται τρία ρολά για να αποκτήσουν πολλούς διαφορετικούς στόχους. Μετά από κάθε κύλιση, ο παίκτης μπορεί να αποφασίσει ποια από τα ζάρια (αν υπάρχουν) πρέπει να διατηρηθούν και τα οποία πρόκειται να ανανεωθούν. Οι στόχοι περιλαμβάνουν μια ποικιλία διαφορετικών συνδυασμών, πολλά από τα οποία προέρχονται από το πόκερ. Κάθε διαφορετικός συνδυασμός αξίζει ένα διαφορετικό ποσό πόντων.

Δύο από τους τύπους συνδυασμών που πρέπει να κυλίσουν οι παίκτες καλούνται ευθείες: μια μικρή ευθεία και μια μεγάλη ευθεία. Όπως και τα poker straight, αυτοί οι συνδυασμοί αποτελούνται από διαδοχικά ζάρια. Οι μικρές ευθείες χρησιμοποιούν τέσσερα από τα πέντε ζάρια και μεγάλες ευθείες χρησιμοποιήστε και τα πέντε ζάρια. Λόγω της τυχαίας κίνησης των ζαριών, η πιθανότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναλυθεί το πόσο πιθανό είναι να κυλήσει μια μικρή ευθεία σε ένα μόνο κύλινδρο.

Υποθέτουμε ότι τα ζάρια που χρησιμοποιούνται είναι δίκαια και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Έτσι υπάρχει ένα ενιαίο χώρο δείγματος που αποτελείται από όλους τους πιθανούς ρόλους των πέντε ζαριών. Αν και

Εφόσον δουλεύουμε με ένα στολήδείγμα χώρου, ο υπολογισμός της πιθανότητας μας γίνεται ένας υπολογισμός δύο προβλημάτων καταμέτρησης. Η πιθανότητα ενός μικρού ευθείου είναι ο αριθμός των τρόπων για να κυλήσει ένα μικρό ίσιο, διαιρούμενο με τον αριθμό των αποτελεσμάτων στο χώρο του δείγματος.

Είναι πολύ εύκολο να μετρήσετε τον αριθμό των αποτελεσμάτων στο χώρο του δείγματος. Τρέχουμε πέντε ζάρια και καθένα από αυτά τα ζάρια μπορεί να έχει ένα από έξι διαφορετικά αποτελέσματα. Μια βασική εφαρμογή της αρχής πολλαπλασιασμού μας λέει ότι ο χώρος δείγματος έχει 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 αποτελέσματα. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο παρονομαστής των κλάσεων που χρησιμοποιούμε για την πιθανότητα μας.

Στη συνέχεια, πρέπει να ξέρουμε πόσους τρόπους υπάρχει για να κυλήσει μια μικρή ευθεία. Αυτό είναι πιο δύσκολο από τον υπολογισμό του μεγέθους του χώρου δειγμάτων. Ξεκινάμε μετρώντας πόσα δυνατά είναι δυνατά.

Μια μικρή ευθεία είναι ευκολότερη να κυλήσει από μια μεγάλη ευθεία, ωστόσο, είναι πιο δύσκολο να μετρήσετε τον αριθμό των τρόπων κυλίσεως αυτού του τύπου ευθεία. Μια μικρή ευθεία αποτελείται από ακριβώς τέσσερις διαδοχικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι υπάρχουν έξι διαφορετικά πρόσωπα της μήτρας, υπάρχουν τρεις πιθανές μικρές ευθείες: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} και {3, 4, 5, 6}. Η δυσκολία προκύπτει από την εξέταση του τι συμβαίνει με το πέμπτο πεθαίνουν. Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, η πέμπτη μήτρα πρέπει να είναι ένας αριθμός που δεν δημιουργεί μεγάλο ευθύγραμμο. Για παράδειγμα, εάν τα πρώτα τέσσερα ζάρια ήταν 1, 2, 3 και 4, η πέμπτη μήτρα θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε άλλο από 5. Εάν ο πέμπτος πεθαίνει ήταν 5, τότε θα είχαμε μια μεγάλη ευθεία και όχι μια μικρή ευθεία.

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν πέντε πιθανά ρολά που δίνουν το μικρό ίσιο {1, 2, 3, 4}, πέντε δυνατό ρολά που δίνουν τις μικρές ευθείες {3, 4, 5, 6} και τέσσερις πιθανές ρολά που δίνουν τις μικρές ευθείες {2, 3, 4, 5}. Αυτή η τελευταία περίπτωση είναι διαφορετική, επειδή η κύλιση 1 ή 6 για την πέμπτη μήτρα θα αλλάξει {2, 3, 4, 5} σε μια μεγάλη ευθεία. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 14 διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους πέντε ζάρια μπορούν να μας δώσουν μια μικρή ευθεία.

Τώρα καθορίζουμε τον διαφορετικό αριθμό τρόπων να κυλήσουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο ζαριών που μας δίνουν ένα ευθύ. Δεδομένου ότι χρειάζεται μόνο να γνωρίζουμε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να γίνει αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ορισμένες βασικές τεχνικές καταμέτρησης.

Από τους 14 διαφορετικούς τρόπους απόκτησης μικρών ευθειών, μόνο δύο από αυτές {1,2,3,4,6} και {1,3,4,5,6} είναι σύνολα με διαφορετικά στοιχεία. Υπάρχουν 5! = 120 τρόποι να κυλήσετε το καθένα για ένα σύνολο 2 x 5! = 240 μικρές ευθείες.

Οι άλλοι 12 τρόποι για να έχετε μια μικρή ευθεία είναι τεχνικά πολυδιάστατα, καθώς όλα περιέχουν ένα επαναλαμβανόμενο στοιχείο. Για ένα συγκεκριμένο πολυάριθμο, όπως [1,1,2,3,4], θα υπολογίζουμε τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων για να το κυλήσουμε. Σκεφτείτε τα ζάρια ως πέντε θέσεις στη σειρά:

• Υπάρχουν C (5,2) = 10 τρόποι για να τοποθετήσετε τα δύο επαναλαμβανόμενα στοιχεία μεταξύ των πέντε ζαριών.
• Υπάρχουν 3! = 6 τρόποι να οργανώσετε τα τρία διαφορετικά στοιχεία.

Με την αρχή του πολλαπλασιασμού, υπάρχουν 6 x 10 = 60 διαφορετικοί τρόποι να κυλήσουμε τα ζάρια 1,1,2,3,4 σε ένα μόνο κύλινδρο.

Υπάρχουν 60 τρόποι να κυλήσετε μια τέτοια μικρή ευθεία με αυτό το συγκεκριμένο πέμπτο πεθαίνουν. Δεδομένου ότι υπάρχουν 12 multisets που δίνουν μια διαφορετική λίστα με πέντε ζάρια, υπάρχουν 60 x 12 = 720 τρόποι για να κυλήσετε μια μικρή ευθεία στην οποία ταιριάζουν δύο ζάρια.

Συνολικά υπάρχουν 2 x 5! + 12 x 60 = 960 τρόποι για να κυλήσετε μια μικρή ευθεία.

Τώρα η πιθανότητα κύλισης ενός μικρού ευθείου είναι ένας απλός υπολογισμός διαίρεσης. Δεδομένου ότι υπάρχουν 960 διαφορετικοί τρόποι για να κυλήσετε μια μικρή ευθεία σε ένα μόνο ρολό και υπάρχουν 7776 ρόλοι πέντε πιθανά ζάρια, η πιθανότητα κύλισης ενός μικρού ευθείου είναι 960/7776, που είναι κοντά στο 1/8 και 12.3%.

Φυσικά, είναι πιθανότερο από το ότι ο πρώτος κύλινδρος δεν είναι ίσιος. Αν συμβαίνει αυτό, τότε επιτρέπονται δύο ακόμη ρολά κάνοντας μια μικρή ευθεία πολύ πιο πιθανή. Η πιθανότητα είναι πολύ πιο περίπλοκη να προσδιοριστεί εξαιτίας όλων των πιθανών καταστάσεων που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη.