Μαθαίνουμε αρκετά νωρίς στη σταδιοδρομία των μαθηματικών μας ότι η παραγοντικό, που ορίζεται για μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς n, είναι ένας τρόπος περιγραφής του επαναλαμβανόμενου πολλαπλασιασμού. Σημειώνεται με τη χρήση ενός θαυμαστικού. Για παράδειγμα:
Η μόνη εξαίρεση σε αυτόν τον ορισμό είναι μηδενικός συντελεστής, όπου 0! = 1. Καθώς εξετάζουμε αυτές τις τιμές για τον παράγοντα, μπορούμε να συνδυάσουμε n με n!. Αυτό θα μας έδινε τα σημεία (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) επί.
Ο ορισμός της λειτουργίας γάμμα είναι πολύ περίπλοκος. Περιλαμβάνει μια σύνθετη φόρμουλα που μοιάζει πολύ περίεργη. Η λειτουργία γάμμα χρησιμοποιεί ορισμένους αριθμούς στον ορισμό της, καθώς και το αριθμός μι Σε αντίθεση με πιο γνωστές λειτουργίες όπως πολυώνυμα ή τριγωνομετρικές λειτουργίες, η λειτουργία γάμμα ορίζεται ως το ακατάλληλο ολοκλήρωμα μιας άλλης συνάρτησης.
Ο ορισμός της λειτουργίας γάμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει έναν αριθμό ταυτοτήτων. Ένα από τα σημαντικότερα από αυτά είναι ότι Γ (
z + 1 ) = z Γ( z ). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το γεγονός και το γεγονός ότι Γ (1) = 1 από τον άμεσο υπολογισμό:Αλλά δεν χρειάζεται να εισαγάγουμε μόνο ολόκληρους αριθμούς στη λειτουργία γάμμα. Κάθε πολύπλοκος αριθμός που δεν είναι αρνητικός ακέραιος είναι στον τομέα της λειτουργίας γάμμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να επεκτείνουμε τον παράγοντα σε αριθμούς διαφορετικούς από μη αρνητικούς ακέραιους. Από αυτές τις τιμές, ένα από τα πιο γνωστά (και εκπληκτικά) αποτελέσματα είναι ότι Γ (1/2) = √π.
Ένα άλλο αποτέλεσμα που είναι παρόμοιο με το τελευταίο είναι ότι Γ (1/2) = -2π. Πράγματι, η λειτουργία γάμμα παράγει πάντα μια έξοδο ενός πολλαπλού της τετραγωνικής ρίζας του pi όταν ένα περίεργο πολλαπλάσιο του 1/2 εισάγεται στη λειτουργία.
Η λειτουργία γάμμα εμφανίζεται σε πολλά, φαινομενικά άσχετα, πεδία μαθηματικών. Συγκεκριμένα, η γενίκευση του παράγοντα που παρέχεται από τη λειτουργία γάμμα είναι χρήσιμη σε ορισμένα συνδυαστικά προβλήματα και προβλήματα πιθανότητας. Μερικοί κατανομών πιθανοτήτων καθορίζονται απευθείας από την άποψη της λειτουργίας γάμμα. Για παράδειγμα, η κατανομή γάμμα δηλώνεται ως προς τη λειτουργία γ. Αυτή η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιηθεί το χρονικό διάστημα μεταξύ των σεισμών. Διανομή μαθητών, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για δεδομένα όπου έχουμε μια άγνωστη τυπική απόκλιση του πληθυσμού και η κατανομή chi-square ορίζεται επίσης από την άποψη της λειτουργίας γάμμα.