Πώς να αποδείξετε τον κανόνα του συμπληρώματος στην πιθανότητα

Διάφορα θεωρήματα στην πιθανότητα μπορούν να εξαχθούν από το αξίες της πιθανότητας. Αυτά τα θεωρήματα μπορούν να εφαρμοστούν για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων που επιθυμούμε να γνωρίσουμε. Ένα τέτοιο αποτέλεσμα είναι γνωστό ως κανόνας του συμπληρώματος. Αυτή η δήλωση μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ΕκδήλωσηΕΝΑ γνωρίζοντας την πιθανότητα του συμπληρώματος ΕΝΑ^ντο. Αφού δηλώσουμε τον κανόνα του συμπληρώματος, θα δούμε πώς μπορεί να αποδειχθεί αυτό το αποτέλεσμα.

Το συμπλήρωμα της εκδήλωσης ΕΝΑ συμβολίζεται με ΕΝΑ^ντο. Το συμπλήρωμα του ΕΝΑ είναι το σειρά όλων των στοιχείων στο καθολικό σετ, ή δείγμα χώρου S, που δεν αποτελούν στοιχεία του σετ ΕΝΑ.

Ο κανόνας του συμπληρώματος εκφράζεται με την ακόλουθη εξίσωση:

Π(ΕΝΑ^ντο) = 1 - Ρ (ΕΝΑ)

Εδώ βλέπουμε ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος και η πιθανότητα του συμπληρώματός του πρέπει να είναι 1.

Για να αποδείξουμε τον κανόνα του συμπληρώματος, ξεκινάμε με τα αξιώματα της πιθανότητας. Αυτές οι δηλώσεις λαμβάνονται χωρίς απόδειξη. Θα δούμε ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν συστηματικά για να αποδείξουν τη δήλωσή μας σχετικά με την πιθανότητα συμπλήρωσης ενός γεγονότος.

• Το πρώτο αξίωμα της πιθανότητας είναι ότι η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος είναι μη αρνητική πραγματικός αριθμός.
• Το δεύτερο αξίωμα της πιθανότητας είναι ότι η πιθανότητα ολόκληρου του χώρου δείγματος μικρό είναι ένα. Συμβολικά γράφουμε P (μικρό) = 1.
• Το τρίτο αξίωμα της πιθανότητας δηλώνει ότι Αν ΕΝΑ και σι είναι αμοιβαία αποκλειστικές (που σημαίνει ότι έχουν μια κενή διασταύρωση), τότε δηλώνουμε την πιθανότητα του ένωση αυτών των γεγονότων ως P (ΕΝΑ U σι ) = Ρ (ΕΝΑ) + Ρ (σι).

Για τον κανόνα του συμπληρώματος, δεν θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο αξίωμα στην παραπάνω λίστα.

Για να αποδείξουμε τη δήλωσή μας, εξετάζουμε τα γεγονότα ΕΝΑκαι ΕΝΑ^ντο. Από τη θεωρία των συνόλων, γνωρίζουμε ότι αυτά τα δύο σύνολα έχουν κενή διασταύρωση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ένα στοιχείο δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι και στα δύο ΕΝΑ και όχι μέσα ΕΝΑ. Δεδομένου ότι υπάρχει μια κενή διασταύρωση, αυτά τα δύο σύνολα είναι αμοιβαία αποκλειστικά.

Η ένωση των δύο γεγονότων ΕΝΑ και ΕΝΑ^ντο είναι επίσης σημαντικά. Αυτά αποτελούν εξαντλητικά γεγονότα, πράγμα που σημαίνει ότι το ένωση από αυτά τα γεγονότα είναι όλο το δείγμα χώρο μικρό.

Αυτά τα γεγονότα, σε συνδυασμό με τα αξιώματα, μας δίνουν την εξίσωση

1 = Ρ (μικρό) = Ρ (ΕΝΑ U ΕΝΑ^ντο) = Ρ (ΕΝΑ) + Ρ (ΕΝΑ^ντο) .

Η πρώτη ισότητα οφείλεται στο δεύτερο αξίωμα πιθανότητας. Η δεύτερη ισότητα είναι επειδή τα γεγονότα ΕΝΑ και ΕΝΑ^ντο είναι εξαντλητικές. Η τρίτη ισότητα οφείλεται στο τρίτο πιθανό αξίωμα.

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να αναδιαταχθεί στη μορφή που δηλώσαμε παραπάνω. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε την πιθανότητα ΕΝΑ από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Ετσι

1 = Ρ (ΕΝΑ) + Ρ (ΕΝΑ^ντο)

γίνεται η εξίσωση

Π(ΕΝΑ^ντο) = 1 - Ρ (ΕΝΑ).

Φυσικά, μπορούμε επίσης να εκφράσουμε τον κανόνα δηλώνοντας ότι:

Π(ΕΝΑ) = 1 - Ρ (ΕΝΑ^ντο).

Και οι τρεις αυτές εξισώσεις είναι ισοδύναμοι τρόποι να πούμε το ίδιο πράγμα. Από αυτή την απόδειξη βλέπουμε πώς μόνο δύο αξιώματα και κάποια θεωρία των συνόλων προχωρούν πολύ μακριά για να μας βοηθήσουν να αποδείξουμε νέες δηλώσεις σχετικά με την πιθανότητα.