Στις στατιστικές, ο κανόνας του συμπληρώματος είναι ένα θεώρημα που παρέχει μια σχέση μεταξύ της πιθανότητας ενός Εκδήλωση και την πιθανότητα να συμπληρωθεί το γεγονός με τέτοιο τρόπο ώστε αν γνωρίζουμε μία από αυτές τις πιθανότητες, τότε αυτόματα γνωρίζουμε το άλλο.
Ο κανόνας του συμπληρώματος είναι χρήσιμος όταν υπολογίζουμε ορισμένες πιθανότητες. Πολλές φορές η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ακατάστατη ή περίπλοκη για τον υπολογισμό, ενώ η πιθανότητα συμπλήρωσής του είναι πολύ απλούστερη.
Πριν να δούμε πώς χρησιμοποιείται ο κανόνας του συμπληρώματος, θα καθορίσουμε συγκεκριμένα τι είναι αυτός ο κανόνας. Ξεκινάμε με ένα κομμάτι συμβολισμού. Το συμπλήρωμα της εκδήλωσης ΕΝΑ, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του δείγμα χώρουμικρό που δεν αποτελούν στοιχεία του σετ ΕΝΑ, υποδηλώνεται με ΕΝΑΝΤΟ.
Δήλωση του Κώδικα Συμπλήρωσης
Ο κανόνας του συμπληρώματος αναφέρεται ως "το άθροισμα της πιθανότητας ενός γεγονότος και η πιθανότητα του συμπληρώματός του είναι ίσο με 1", όπως εκφράζεται από την ακόλουθη εξίσωση:
Π(ΕΝΑντο) = 1 - Ρ (ΕΝΑ)
Το παρακάτω παράδειγμα θα δείξει τον τρόπο χρήσης του κανόνα του συμπληρώματος. Θα γίνει φανερό ότι αυτό το θεώρημα θα επιταχύνει και θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς πιθανότητας.
Πιθανότητα χωρίς τον κανόνα του συμπληρώματος
Ας υποθέσουμε ότι ανεβάζουμε οκτώ καλά νομίσματα - ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον ένα κεφάλι; Ένας τρόπος να καταλάβουμε αυτό είναι να υπολογίσουμε τις ακόλουθες πιθανότητες. Ο παρονομαστής καθενός εξηγείται από το γεγονός ότι υπάρχουν 28 = 256 αποτελέσματα, εκάστη εξ ίσου πιθανή. Όλα τα ακόλουθα μας μια φόρμουλα για συνδυασμοί:
- Η πιθανότητα ανατροπής ακριβώς μιας κεφαλής είναι C (8,1) / 256 = 8/256.
- Η πιθανότητα να γυρίσετε ακριβώς δύο κεφαλές είναι C (8,2) / 256 = 28/256.
- Η πιθανότητα αντιστροφής ακριβώς τριών κεφαλών είναι C (8,3) / 256 = 56/256.
- Η πιθανότητα να γυρίσουμε ακριβώς τέσσερις κεφαλές είναι C (8,4) / 256 = 70/256.
- Η πιθανότητα ανατροπής ακριβώς πέντε κεφαλών είναι C (8,5) / 256 = 56/256.
- Η πιθανότητα ανατροπής ακριβώς έξι κεφαλών είναι C (8,6) / 256 = 28/256.
- Η πιθανότητα αντιστροφής ακριβώς επτά κεφαλιών είναι C (8,7) / 256 = 8/256.
- Η πιθανότητα αντιστροφής ακριβώς οκτώ κεφαλών είναι C (8,8) / 256 = 1/256.
Αυτά είναι αμοιβαία αποκλειστικά τα γεγονότα, έτσι αθροίζουμε τις πιθανότητες μαζί χρησιμοποιώντας ένα κατάλληλο κανόνα προσθήκης. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον ένα κεφάλι είναι 255 από τα 256.
Χρήση του κανόνα συμπλήρωσης για απλοποίηση προβλημάτων πιθανότητας
Τώρα υπολογίζουμε την ίδια πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του συμπληρώματος. Το συμπλήρωμα της εκδήλωσης "Εμείς αναστρέψουμε τουλάχιστον ένα κεφάλι" είναι το γεγονός "Δεν υπάρχουν κεφάλια". Υπάρχει ένας τρόπος για να συμβεί αυτό, δίνοντάς μας την πιθανότητα 1/256. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα του συμπληρώματος και διαπιστώνουμε ότι η επιθυμητή μας πιθανότητα είναι ένα μείον ένα από τα 256, το οποίο ισούται με 255 από τα 256.
Αυτό το παράδειγμα καταδεικνύει όχι μόνο τη χρησιμότητα αλλά και τη δύναμη του κανόνα του συμπληρώματος. Παρόλο που δεν υπήρχε τίποτα κακό με τον αρχικό μας υπολογισμό, ήταν αρκετά εμπλεκόμενο και απαιτούσε πολλαπλά βήματα. Αντίθετα, όταν χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του συμπληρώματος για αυτό το πρόβλημα, δεν υπήρχαν τόσα βήματα όπου οι υπολογισμοί θα μπορούσαν να πάνε στραβά.