Πώς να βρείτε την αρχική τιμή μιας εκθετικής συνάρτησης

Οι εκθετικές λειτουργίες αναφέρουν τις ιστορίες της εκρηκτικής αλλαγής. Οι δύο τύποι εκθετικών λειτουργιών είναι εκθετική αύξηση και εκθετική αποσύνθεση. Τέσσερις μεταβλητές - αλλαγή ποσοστού, χρόνος, ποσό στην αρχή της χρονικής περιόδου και το ποσό στο τέλος της χρονικής περιόδου - παίζουν ρόλους σε εκθετικές λειτουργίες. Αυτό το άρθρο επικεντρώνεται στο πώς να βρείτε το ποσό στην αρχή της χρονικής περιόδου, ένα.

Εκθετική ανάπτυξη: η αλλαγή που συμβαίνει όταν ένα αρχικό ποσό αυξάνεται κατά σταθερό ρυθμό για μια χρονική περίοδο

Εκθετική ανάπτυξη στην πραγματική ζωή:

• Τιμές τιμών κατοικίας
• Τιμές επενδύσεων
• Αυξημένη συμμετοχή σε έναν δημοφιλή ιστότοπο κοινωνικής δικτύωσης

Εδώ είναι μια εκθετική λειτουργία ανάπτυξης:

y = ένα(1 + β)^Χ

• y: Το τελικό ποσό παραμένει σε μια χρονική περίοδο
• ένα: Το αρχικό ποσό
• Χ: Χρόνος
• ο παράγοντας ανάπτυξης είναι (1 + σι).
• Η μεταβλητή, σι, είναι η εκατοστιαία μεταβολή σε δεκαδική μορφή.

Εκθετική αποσύνθεση: η αλλαγή που συμβαίνει όταν ένα αρχικό ποσό μειώνεται κατά σταθερό ρυθμό για μια χρονική περίοδο

Εκθετική αποσύνθεση στην πραγματική ζωή:

• Πτώση της αναγνωσιμότητας των εφημερίδων
• Πτώση των εγκεφαλικών επεισοδίων στις ΗΠΑ
• Αριθμός ατόμων που μένουν σε μια πόλη που πληγώθηκε από τυφλούς

Ακολουθεί μια εκθετική λειτουργία αποσύνθεσης:

y = ένα(1-σι)^Χ

• y: Τελικό ποσό που απομένει μετά την αποσύνθεση για μια χρονική περίοδο
• ένα: Το αρχικό ποσό
• Χ: Χρόνος
• ο παράγοντα αποσύνθεσης είναι (1-σι).
• Η μεταβλητή, σι, είναι το ποσοστό επί τοις εκατό μείωση σε δεκαδική μορφή.

Έξι χρόνια μετά, ίσως θέλετε να παρακολουθήσετε ένα προπτυχιακό δίπλωμα στο Πανεπιστήμιο Dream. Με μια τιμή αξίας 120.000 δολαρίων, το Πανεπιστήμιο Dream προκαλεί οικονομικές νυχτερινές θρησκείες. Μετά τις άστεγες νύχτες, εσείς, η μαμά και ο μπαμπάς συναντηθείτε με έναν οικονομικό προγραμματιστή. Τα αιματηρά μάτια των γονιών σας ξεκαθαρίζουν όταν ο προγραμματιστής αποκαλύπτει μια επένδυση με ρυθμό ανάπτυξης 8% που μπορεί να βοηθήσει την οικογένειά σας να φτάσει το στόχο των 120.000 δολαρίων. Μελετώ σκληρά. Εάν εσείς και οι γονείς σας επενδύσετε σήμερα 75.620,36 δολάρια, τότε το Dream University θα γίνει πραγματικότητα σας.

Αυτή η λειτουργία περιγράφει την εκθετική αύξηση της επένδυσης:

120,000 = ένα(1 +.08)⁶

• 120.000: Το τελικό ποσό παραμένει μετά από 6 χρόνια
• .08: Ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης
• 6: Ο αριθμός των ετών για την ανάπτυξη της επένδυσης
• ένα: Το αρχικό ποσό που έχει επενδύσει η οικογένειά σας

Ιχνος: Χάρη στην συμμετρική ιδιότητα της ισότητας, 120.000 = ένα(1 +.08)⁶ είναι το ίδιο με ένα(1 +.08)⁶ = 120,000. (Συμμετρική ιδιότητα ισότητας: Εάν 10 + 5 = 15, τότε 15 = 10 +5.)

Εάν προτιμάτε να ξαναγράψετε την εξίσωση με τη σταθερά, 120.000, στα δεξιά της εξίσωσης, τότε το κάνετε.

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000

Η εξίσωση δεν μοιάζει με γραμμική εξίσωση (6ένα = 120.000 δολάρια), αλλά είναι ρεαλιστικό. Stick με αυτό!

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000

Προσέξτε: Μην λύσετε αυτή την εκθετική εξίσωση διαιρώντας 120.000 με 6. Είναι ένα δελεαστικό μαθηματικό όχι όχι.

1. Χρήση Διάταξη των εργασιών να απλοποιηθεί.

ένα(1 +.08)⁶ = 120,000

ένα(1.08)⁶ = 120.000 (Παρενθέσεις)

ένα(1.586874323) = 120.000 (εκθέτης)

2. Επίλυση με διαίρεση

ένα(1.586874323) = 120,000

ένα(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1ένα = 75,620.35523

ένα = 75,620.35523

Το αρχικό ποσό ή το ποσό που πρέπει να επενδύσει η οικογένειά σας είναι περίπου 75.620,36 δολάρια.

3. Πάγωμα - δεν έχετε κάνει ακόμα. Χρησιμοποιήστε τη σειρά εργασιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.

120,000 = ένα(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Παρένθεση)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (Εκθέτης)

120.000 = 120.000 (Πολλαπλασιασμός)

Ακολουθούν παραδείγματα για τον τρόπο επίλυσης του αρχικού ποσού, λαμβάνοντας υπόψη την εκθετική λειτουργία:

1. 84 = ένα(1+.31)⁷
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   84 = ένα(1.31)⁷ (Παρένθεση)
   84 = ένα(6.620626219) (εκθέτης)
   Διαίρεση για επίλυση.
   84/6.620626219 = ένα(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1ένα
   12.68762157 = ένα
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Παρένθεση)
   84 = 12,68762157 (6,620626219) (εκθέτης)
   84 = 84 (πολλαπλασιασμός)
2. ένα(1 -.65)³ = 56
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   ένα(.35)³ = 56 (Παρενθέσεις)
   ένα(.042875) = 56 (Εκθέτης)
   Διαίρεση για επίλυση.
   ένα(.042875)/.042875 = 56/.042875
   ένα = 1,306.122449
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   ένα(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (Παρενθέσεις)
   1,306,122449 (.042875) = 56 (εκθέτης)
   56 = 56 (Πολλαπλασιασμός)
3. ένα(1 + .10)⁵ = 100,000
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   ένα(1.10)⁵ = 100.000 (Παρενθέσεις)
   ένα(1.61051) = 100.000 (εκθέτης)
   Διαίρεση για επίλυση.
   ένα(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   ένα = 62,092.13231
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100.000 (Παρενθέσεις)
   62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (εκθέτης)
   100.000 = 100.000 (Πολλαπλασιασμός)
4. 8,200 = ένα(1.20)¹⁵
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   8,200 = ένα(1.20)¹⁵ (Εκθέτης)
   8,200 = ένα(15.40702157)
   Διαίρεση για επίλυση.
   8,200/15.40702157 = ένα(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1ένα
   532.2248665 = ένα
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8,200 = 532,2248665 (15,40702157) (Εκθέτης)
   8,200 = 8200 (Λοιπόν, 8,199,9999... Λίγο σφάλμα στρογγυλοποίησης.) (Πολλαπλασιάστε.)
5. ένα(1 -.33)² = 1,000
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   ένα(.67)² = 1,000 (Παρενθέσεις)
   ένα(.4489) = 1.000 (εκθέτης)
   Διαίρεση για επίλυση.
   ένα(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1ένα = 2,227.667632
   ένα = 2,227.667632
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1,000 (Παρενθέσεις)
   2,227,667632 (.4489) = 1,000 (εκθέτης)
   1,000 = 1,000 (Πολλαπλασιασμός)
6. ένα(.25)⁴ = 750
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά λειτουργιών για απλοποίηση.
   ένα(.00390625) = 750 (εκθέτης)
   Διαίρεση για επίλυση.
   ένα(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1α = 192.000
   α = 192.000
   Χρησιμοποιήστε τη σειρά των λειτουργιών για να ελέγξετε την απάντησή σας.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750