Υποτιθέμενη Πιθανότητα: Σημείωση και Παραδείγματα

Ένα απλό παράδειγμα υποθετικός πιθανότητα είναι η πιθανότητα μια κάρτα που προέρχεται από ένα τυπικό κατάστρωμα καρτών να είναι βασιλιάς. Υπάρχουν συνολικά τέσσερις βασιλιάδες από 52 κάρτες και έτσι η πιθανότητα είναι απλώς 4/52. Σχετικά με αυτόν τον υπολογισμό υπάρχει η ακόλουθη ερώτηση: "Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσουμε ένα βασιλιά δεδομένης αυτής έχουμε ήδη τραβήξει μια κάρτα από το κατάστρωμα και είναι άσος; "Εδώ εξετάζουμε το περιεχόμενο της τράπουλας του καρτέλλες. Υπάρχουν ακόμα τέσσερις βασιλιάδες, αλλά τώρα υπάρχουν μόνο 51 κάρτες στο κατάστρωμα. Η πιθανότητα να σχεδιαστεί ένας βασιλιάς δεδομένου ότι έχει ήδη τραβηχτεί ένας άσος είναι 4/51.

Υποδεικνυόμενη πιθανότητα ορίζεται ως η πιθανότητα ενός γεγονότος δεδομένου ότι έχει συμβεί άλλο γεγονός. Αν ονομάσουμε αυτά τα γεγονότα ΕΝΑ και σι, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για την πιθανότητα ΕΝΑ δεδομένος σι. Θα μπορούσαμε επίσης να αναφερθούμε στην πιθανότητα ΕΝΑ εξαρτάται από σι.

Η συμβολική συμβολική πιθανότητα ποικίλει από το βιβλίο στο βιβλίο. Σε όλες τις σημειώσεις, η ένδειξη είναι ότι η πιθανότητα που αναφέρουμε εξαρτάται από ένα άλλο γεγονός. Μια από τις πιο κοινές σημειώσεις για την πιθανότητα

Υπάρχει μια φόρμουλα για την υπό όρους πιθανότητα που συνδέει αυτό με την πιθανότητα ΕΝΑ και σι:

Ρ (Α | Β) = Ρ (Α ∩ Β) / Ρ (Β)

Ουσιαστικά αυτό που λέει αυτός ο τύπος είναι ότι για τον υπολογισμό της υπό όρους πιθανότητας του γεγονότος ΕΝΑ δεδομένου του γεγονότος σι, αλλάζουμε το δείγμα του χώρου μας ώστε να αποτελείται μόνο από το σετ σι. Με αυτόν τον τρόπο, δεν εξετάζουμε όλη την εκδήλωση ΕΝΑ, αλλά μόνο το μέρος του ΕΝΑ που περιλαμβάνεται επίσης στο σι. Το σύνολο που μόλις περιγράψαμε μπορεί να αναγνωριστεί με πιο οικείους όρους όπως το σημείο τομής του ΕΝΑ και σι.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε άλγεβρα να εκφράσει τον παραπάνω τύπο με διαφορετικό τρόπο:

Ρ (Α ∩ Β) = Ρ (Α | Β) Ρ (Β)

Θα επανεξετάσουμε το παράδειγμα που ξεκινήσαμε με βάση αυτές τις πληροφορίες. Θέλουμε να γνωρίζουμε την πιθανότητα να σχεδιάσουμε ένα βασιλιά δεδομένου ότι έχει ήδη τραβηχτεί ένας άσος. Έτσι, το γεγονός ΕΝΑ είναι ότι σχεδιάζουμε ένα βασιλιά. Εκδήλωση σι είναι ότι σχεδιάζουμε έναν άσσο.

Η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο συμβάντα και να τραβήξουμε ένα άσσο και έπειτα ένας βασιλιάς αντιστοιχεί στο Ρ (Α ∩ Β). Η αξία αυτής της πιθανότητας είναι 12/2652. Η πιθανότητα συμβάντος σι, ότι αντλούμε έναν άσο είναι 4/52. Επομένως, χρησιμοποιούμε τον τύπο υπό όρους πιθανοτήτων και βλέπουμε ότι η πιθανότητα να τραβηχτεί ένας βασιλιάς που δίνεται από έναν άσο έχει (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Για ένα άλλο παράδειγμα, θα εξετάσουμε το πείραμα πιθανότητας όπου εμείς ρίξτε δύο ζάρια. Μια ερώτηση που θα μπορούσαμε να ζητήσουμε είναι: "Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε τρία, δεδομένου ότι έχουμε ανεβάσει ένα ποσό κάτω των έξι;"

Εδώ το συμβάν ΕΝΑ είναι ότι έχουμε ανεβάσει τρία, και το γεγονός σι είναι ότι έχουμε ανεβάσει ένα ποσό μικρότερο από έξι. Υπάρχουν συνολικά 36 τρόποι να κυλήσετε δύο ζάρια. Από αυτούς τους 36 τρόπους, μπορούμε να κυλήσουμε ένα ποσό λιγότερο από έξι σε δέκα τρόπους:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Υπάρχουν ορισμένες περιπτώσεις στις οποίες η υπό όρους πιθανότητα ΕΝΑ δεδομένου του γεγονότος σι είναι ίσο με την πιθανότητα ΕΝΑ. Σε αυτήν την κατάσταση, λέμε ότι τα γεγονότα ΕΝΑ και σι είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ο παραπάνω τύπος γίνεται:

Ρ (Α | Β) = Ρ (Α) = Ρ (Α ∩ Β) / Ρ (Β),

και ανακτάμε τον τύπο ότι για ανεξάρτητα γεγονότα η πιθανότητα και των δύο ΕΝΑ και σι προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων καθενός από αυτά τα συμβάντα:

Ρ (Α ∩ Β) = Ρ (Β) Ρ (Α)

Όταν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα, αυτό σημαίνει ότι ένα γεγονός δεν έχει καμία επίδραση στο άλλο. Η ανατροπή ενός νομίσματος και έπειτα ενός άλλου είναι ένα παράδειγμα ανεξάρτητων γεγονότων. Ένα flip νομίσματος δεν έχει καμία επίδραση στο άλλο.

Να είστε πολύ προσεκτικοί για να προσδιορίσετε ποιο συμβάν εξαρτάται από το άλλο. Γενικά Ρ (Α | Β) δεν είναι ίσο με Ρ (Β | Α). Αυτή είναι η πιθανότητα ΕΝΑ δεδομένου του γεγονότος σι δεν είναι η ίδια με την πιθανότητα σι δεδομένου του γεγονότος ΕΝΑ.

Σε ένα παράδειγμα παραπάνω είδαμε ότι σε κυλίνδρους δύο ζάρια, η πιθανότητα κυλίσεως τριών, δεδομένου ότι έχουμε κυλίσει ένα άθροισμα κάτω των έξι ήταν 4/10. Από την άλλη πλευρά, ποια είναι η πιθανότητα να κυλήσει ένα ποσό μικρότερο από έξι δεδομένου ότι έχουμε κυλίσει τρία; Η πιθανότητα να κυλήσει τρία και ένα άθροισμα μικρότερο από έξι είναι 4/36. Η πιθανότητα κύλισης τουλάχιστον ενός τριών είναι 11/36. Επομένως, η υπό όρους πιθανότητα στην περίπτωση αυτή είναι (4/36) / (11/36) = 4/11.