Αναμενόμενη τιμή για το Chuck-a-Luck

Το Chuck-a-Luck είναι ένα τυχερό παιχνίδι. Τρία ζάρια τυλίγονται, μερικές φορές σε συρμάτινο πλαίσιο. Λόγω αυτού του πλαισίου, το παιχνίδι αυτό ονομάζεται επίσης birdcage. Αυτό το παιχνίδι εμφανίζεται συχνότερα στα καρναβάλια και όχι στα καζίνο. Ωστόσο, λόγω της χρήσης τυχαίων ζαριών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πιθανότητα να αναλύσουμε αυτό το παιχνίδι. Πιο συγκεκριμένα μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία αυτού του παιχνιδιού.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι στοιχημάτων στους οποίους μπορείτε να ποντάρετε. Θα λάβουμε υπόψη μόνο το στοίχημα ενός αριθμού. Σε αυτό το στοίχημα επιλέγουμε απλά έναν συγκεκριμένο αριθμό από έναν έως έξι. Στη συνέχεια κυλίνουμε τα ζάρια. Εξετάστε τις δυνατότητες. Όλα τα ζάρια, δύο από αυτά, ένας από αυτούς ή κανένας δεν θα μπορούσε να δείξει τον αριθμό που έχουμε επιλέξει.

Ας υποθέσουμε ότι αυτό το παιχνίδι θα πληρώσει τα εξής:

• $ 3 εάν και τα τρία ζάρια ταιριάζουν με τον επιλεγμένο αριθμό.
• $ 2 αν ακριβώς δύο ζάρια ταιριάζουν με τον επιλεγμένο αριθμό.
• $ 1 αν ακριβώς ένα από τα ζάρια αντιστοιχεί στον επιλεγμένο αριθμό.

Εάν κανένα από τα ζάρια δεν ταιριάζει με τον επιλεγμένο αριθμό, τότε πρέπει να πληρώσουμε 1 $.

Ποια είναι η αναμενόμενη αξία αυτού του παιχνιδιού; Με άλλα λόγια, μακροπρόθεσμα, πόσο κατά μέσο όρο θα περίμενε κανείς να κερδίσει ή να χάσει αν έπαιζα αυτό το παιχνίδι επανειλημμένα;

Για να βρούμε την αναμενόμενη αξία αυτού του παιχνιδιού, πρέπει να προσδιορίσουμε τέσσερις πιθανότητες. Αυτές οι πιθανότητες αντιστοιχούν στα τέσσερα πιθανά αποτελέσματα. Σημειώνουμε ότι κάθε μήτρα είναι ανεξάρτητη από τις άλλες. Λόγω αυτής της ανεξαρτησίας, χρησιμοποιούμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Αυτό θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων.

Υποθέτουμε επίσης ότι τα ζάρια είναι δίκαια. Κάθε μία από τις έξι πλευρές σε κάθε ένα από τα τρία ζάρια είναι εξίσου πιθανό να τυλιχτεί.

Υπάρχουν 6 x 6 x 6 = 216 πιθανά αποτελέσματα από την κύλιση αυτών των τριών ζαριών. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο παρονομαστής για όλες μας τις πιθανότητες.

Υπάρχει ένας τρόπος για να ταιριάζουν και τα τρία ζάρια με τον επιλεγμένο αριθμό.

Υπάρχουν πέντε τρόποι με τους οποίους ένας μοναδικός θάνατος να μην ταιριάζει με τον επιλεγμένο αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 5 τρόποι 5 x 5 = 125 τρόποι για να μην ταιριάζει με τον αριθμό που επιλέξαμε.

Αν σκεφτούμε ακριβώς δύο από τα ζάρια, τότε έχουμε ένα πεθαίνουν που δεν ταιριάζουν.

• Υπάρχουν 1 x 1 x 5 = 5 τρόποι για να ταιριάζει ο αριθμός μας με τους πρώτους δύο ζάρια και ο τρίτος για να είναι διαφορετικός.
• Υπάρχουν 1 x 5 x 1 = 5 τρόποι για να ταιριάζει το πρώτο και το τρίτο ζάρια, με το δεύτερο να είναι διαφορετικό.
• Υπάρχουν 5 x 1 x 1 = 5 τρόποι για να είναι ο πρώτος τύπος διαφορετικός και ο δεύτερος και ο τρίτος να ταιριάζουν.

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν συνολικά 15 τρόποι για να ταιριάζουν ακριβώς δύο ζάρια.

Τώρα υπολογίσαμε τον αριθμό των τρόπων απόκτησης όλων των αποτελεσμάτων εκτός από ένα. Υπάρχουν 216 κύλινδροι. Υπολογίσαμε 1 + 15 + 125 = 141 από αυτούς. Αυτό σημαίνει ότι παραμένουν 216 -141 = 75.

Συλλέγουμε όλες τις παραπάνω πληροφορίες και βλέπουμε:

• Η πιθανότητα ότι ο αριθμός μας ταιριάζει και στα τρία ζάρια είναι 1/216.
• Η πιθανότητα ότι ο αριθμός μας αντιστοιχεί ακριβώς σε δύο ζάρια είναι 15/216.
• Η πιθανότητα ότι ο αριθμός μας ταιριάζει ακριβώς με ένα die είναι 75/216.
• Η πιθανότητα ότι ο αριθμός μας δεν ταιριάζει με κανένα από τα ζάρια είναι 125/216.

Τώρα είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε το αναμενόμενη αξία αυτής της κατάστασης. ο τύπος για την αναμενόμενη τιμή απαιτεί από εμάς να πολλαπλασιάσουμε την πιθανότητα κάθε συμβάντος με το καθαρό κέρδος ή ζημία εάν συμβεί το συμβάν. Στη συνέχεια προσθέτουμε όλα αυτά τα προϊόντα μαζί.

Ο υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής έχει ως εξής:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Αυτό είναι περίπου - 0,08 δολάρια. Η ερμηνεία είναι ότι αν έπαιζα επανειλημμένα αυτό το παιχνίδι, κατά μέσο όρο θα χάναμε 8 σεντ κάθε φορά που παίξαμε.