Η πιθανότητα κύλισης ενός Yahtzee

Το Yahtzee είναι ένα παιχνίδι με ζάρια που περιλαμβάνει συνδυασμό τύχης και στρατηγικής. Ένας παίκτης ξεκινάει με τη σειρά του πετώντας πέντε ζάρια. Μετά από αυτό το ρολό, ο παίκτης μπορεί να αποφασίσει να επαναλάβει τον αριθμό των ζαριών. Το πολύ, υπάρχουν συνολικά τρία ρολά για κάθε στροφή. Μετά από αυτούς τους τρεις κυλίνδρους, το αποτέλεσμα των ζαριών εισάγεται σε ένα φύλλο βαθμολογίας. Αυτό το φύλλο βαθμολογίας περιέχει διαφορετικές κατηγορίες, όπως a γεμάτο σπίτι ή μεγάλη ευθεία. Κάθε μία από τις κατηγορίες ικανοποιείται με διαφορετικούς συνδυασμούς ζαριών.

Η πιο δύσκολη κατηγορία που πρέπει να συμπληρώσετε είναι αυτή ενός Yahtzee. Μια Yahtzee εμφανίζεται όταν ένας παίκτης κυλάει πέντε του ίδιου αριθμού. Πόσο απίθανο είναι ένας Yahtzee; Αυτό είναι ένα πρόβλημα πολύ πιο περίπλοκο από το να βρούμε πιθανότητες δύο ή ακόμη και τρία ζάρια. Ο κύριος λόγος είναι ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να πετύχετε πέντε ζάρια σε τρία ρολά.

Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κύλισης ενός Yahtzee με τη χρήση του combinatorics για συνδυασμούς και με το σπάσιμο του προβλήματος σε πολλά

Η πιο εύκολη υπόθεση είναι να αποκτήσετε ένα Yahtzee αμέσως στον πρώτο κύλινδρο. Θα εξετάσουμε πρώτα το πιθανότητα της κυλίωσης ενός συγκεκριμένου Yahtzee πέντε πέντε, και στη συνέχεια να επεκταθεί εύκολα αυτό στην πιθανότητα οποιουδήποτε Yahtzee.

Η πιθανότητα κυλίσεως δύο είναι 1/6 και το αποτέλεσμα κάθε μήτρας είναι ανεξάρτητο από το υπόλοιπο. Έτσι, η πιθανότητα κύλισης πέντε σεντ είναι (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Η πιθανότητα να κυλήσει πέντε από ένα είδος οποιουδήποτε άλλου αριθμού είναι επίσης 1/7776. Δεδομένου ότι υπάρχουν συνολικά έξι διαφορετικοί αριθμοί σε μια μήτρα, πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω πιθανότητα κατά 6.

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα ενός Yahtzee στον πρώτο κύλινδρο είναι 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 τοις εκατό.

Εάν πετάξουμε τίποτα άλλο από πέντε από ένα είδος πρώτου κυλίνδρου, θα χρειαστεί να ξαναρίξουμε μερικά από τα ζάρια μας για να προσπαθήσουμε να πάρουμε ένα Yahtzee. Ας υποθέσουμε ότι ο πρώτος μας κύλινδρος έχει τέσσερις του ενός είδους. θα επαναλάβαμε τη μία μήτρα που δεν ταιριάζει και στη συνέχεια θα πάρει ένα Yahtzee σε αυτό το δεύτερο ρολό.

Η πιθανότητα κύλισης συνολικά πέντε δύο με αυτόν τον τρόπο βρίσκεται ως εξής:

1. Στο πρώτο ρολό, έχουμε τέσσερα δύο. Δεδομένου ότι υπάρχει μια πιθανότητα 1/6 της κύλισης δύο, και 5/6 της μη κύλισης των δύο, πολλαπλασιάζουμε (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Οποιοδήποτε από τα πέντε ζάρια έλασης μπορεί να μην είναι οι δύο. Χρησιμοποιούμε τον τύπο συνδυασμού μας για το C (5, 1) = 5 για να μετρήσουμε πόσους τρόπους μπορούμε να κάνουμε με τέσσερα τετράγωνα και κάτι που δεν είναι δύο.
3. Πολλαπλασιάζουμε και βλέπουμε ότι η πιθανότητα κύλισης ακριβώς τεσσάρων δύο σε πρώτο ρολό είναι 25/7776.
4. Στο δεύτερο κύλινδρο, πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα κυλίσεως δύο. Αυτό είναι 1/6. Έτσι, η πιθανότητα κύλισης ενός Yahtzee από δύο με τον παραπάνω τρόπο είναι (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Για να βρεθεί η πιθανότητα να κυλήσει οποιοδήποτε Yahtzee με αυτόν τον τρόπο, βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω πιθανότητα με 6 επειδή υπάρχουν έξι διαφορετικοί αριθμοί σε μια μήτρα. Αυτό δίνει μια πιθανότητα 6 x 25/46656 = 0,32 τοις εκατό.

Αλλά αυτό δεν είναι ο μόνος τρόπος για να κυλήσετε ένα Yahtzee με δύο ρολά. Όλες οι ακόλουθες πιθανότητες βρίσκονται με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω:

• Θα μπορούσαμε να κυλήσουμε τρία από αυτά, και στη συνέχεια δύο ζάρια που ταιριάζουν στο δεύτερο μας κύλινδρο. Η πιθανότητα είναι 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54%.
• Θα μπορούσαμε να κυλήσουμε ένα ζευγάρι που ταιριάζει και στο δεύτερο κύλιό μας τρία ζάρια που ταιριάζουν. Η πιθανότητα είναι 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36%.
• Θα μπορούσαμε να ρίξουμε πέντε διαφορετικά ζάρια, εκτός από ένα πεθαίνουν από τον πρώτο μας κύλινδρο, και στη συνέχεια να ρίξουμε τέσσερα ζάρια που ταιριάζουν στο δεύτερο ρολό. Η πιθανότητα είναι (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 τοις εκατό.

Οι παραπάνω περιπτώσεις είναι αμοιβαία αποκλειόμενες. Αυτό σημαίνει ότι για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κυλήσουμε ένα Yahtzee σε δύο ρολά, προσθέτουμε τις παραπάνω πιθανότητες μαζί και έχουμε περίπου 1,23 τοις εκατό.

Για την πιο περίπλοκη κατάσταση, θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου χρησιμοποιούμε και τα τρία ρολά μας για να αποκτήσουμε ένα Yahtzee. Θα μπορούσαμε να το κάνουμε αυτό με διάφορους τρόπους και πρέπει να το αντιμετωπίσουμε για όλους.

Οι πιθανότητες αυτών των δυνατοτήτων υπολογίζονται παρακάτω:

• Η πιθανότητα κύλισης τεσσάρων από ένα είδος, τότε τίποτα, τότε ταιριάζοντας με την τελευταία πεθαίνουν στον τελευταίο κύλινδρο είναι 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει τρία από τα είδη, τότε τίποτα, τότε ταιριάζει με το σωστό ζευγάρι στο τελευταίο ρολό είναι 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα ζευγάρι που ταιριάζει, τότε τίποτα, τότε ταιριάζει με τα σωστά τρία του είδους στο τρίτο ρολό είναι 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει μια μονή μήτρα, τότε τίποτα δεν ταιριάζει με αυτό, τότε ταιριάζοντας με τα σωστά τέσσερα από ένα είδος στο τρίτο ρολό είναι (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0.003 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει τρία από τα είδη, που ταιριάζουν με μια επιπλέον πεθαίνουν στο επόμενο ρολό, ακολουθούμενη από ταιριάζοντας την πέμπτη μήτρα στον τρίτο κύλινδρο είναι 6 χ C (5, 3) χ (25/7776) Χ C (2,1) χ (5/36) χ (1/6) = 0,89 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα ζεύγος, ταιριάζοντας ένα πρόσθετο ζευγάρι στον επόμενο κύλινδρο, ακολουθούμενο από αντιστοίχιση η πέμπτη μήτρα στον τρίτο κύλινδρο είναι 6 x C (5, 2) χ (100/7776) χ C (3,2) χ (5/216) χ (1/6) = 0,89 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα ζευγάρι, ταιριάζοντας μια πρόσθετη μήτρα στον επόμενο κύλινδρο, ακολουθούμενη από την αντιστοίχιση του τα τελευταία δύο ζάρια στο τρίτο ρολό είναι 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74%.
• Η πιθανότητα κυλίνδρου ενός είδους, άλλου μήκους για να ταιριάζει με τον δεύτερο κύλινδρο και στη συνέχεια ένα τρία από τα είδη στον τρίτο κύλινδρο είναι (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα από τα είδη, ένα τρία από ένα είδος που ταιριάζει στο δεύτερο ρολό, ακολουθούμενο από έναν αγώνα στον τρίτο κύλινδρο είναι (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 τοις εκατό.
• Η πιθανότητα να κυλήσει ένα είδος, ένα ζευγάρι για να το ταιριάξει στο δεύτερο κύλινδρο, και έπειτα ένα άλλο ζεύγος που ταιριάζει στον τρίτο κύλινδρο είναι (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 τοις εκατό.

Προσθέτουμε όλες αυτές τις πιθανότητες μαζί για να καθορίσουμε την πιθανότητα να κυλήσουμε ένα Yahtzee σε τρία ρολά των ζαριών. Αυτή η πιθανότητα είναι 3,43%.

Η πιθανότητα ενός Yahtzee σε ένα ρολό είναι 0,08 τοις εκατό, η πιθανότητα ενός Yahtzee σε δύο ρολά είναι 1,23 τοις εκατό και η πιθανότητα ενός Yahtzee σε τρεις ρόλους είναι 3,43 τοις εκατό. Καθώς κάθε μία από αυτές είναι αμοιβαία αποκλειστική, προσθέτουμε τις πιθανότητες μαζί. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα απόκτησης ενός Yahtzee σε μια δεδομένη στροφή είναι περίπου 4,74%. Για να το θέσουμε σε προοπτική, δεδομένου ότι το 1/21 είναι περίπου 4,74%, μόνο τυχαία ένας παίκτης πρέπει να περιμένει ένα Yahtzee μία φορά κάθε 21 στροφές. Στην πράξη, μπορεί να χρειαστεί περισσότερος χρόνος, καθώς ένα αρχικό ζευγάρι μπορεί να απορριφθεί για να κυλήσει για κάτι άλλο, όπως α ευθεία.