Τι είναι ο Λογισμός; Ορισμός και Πρακτικές Εφαρμογές

Ο υπολογισμός είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που περιλαμβάνει τη μελέτη των ρυθμών αλλαγής. Πριν από την επινόηση του αριθμητικού, όλα τα μαθηματικά ήταν στατικά: θα μπορούσε μόνο να βοηθήσει στον υπολογισμό αντικειμένων που ήταν τελείως ακίνητοι. Αλλά το σύμπαν κινείται συνεχώς και αλλάζει. Δεν υπάρχουν αντικείμενα - από τα αστέρια στο διάστημα έως τα υποατομικά σωματίδια ή τα κύτταρα στο σώμα - είναι πάντα σε κατάσταση ηρεμίας. Πράγματι, σχεδόν ό, τι στο σύμπαν κινείται συνεχώς. Ο υπολογισμός βοήθησε να καθοριστεί πώς τα σωματίδια, τα αστέρια και η ύλη στην πραγματικότητα κινούνται και αλλάζουν σε πραγματικό χρόνο.

Ο υπολογισμός χρησιμοποιείται σε ένα πλήθος πεδίων που συνήθως δεν θα σκέφτεστε να κάνουν χρήση των εννοιών του. Μεταξύ αυτών είναι η φυσική, η μηχανική, η οικονομία, οι στατιστικές και η ιατρική. Ο υπολογισμός χρησιμοποιείται επίσης σε τέτοιες διαφορετικές περιοχές όπως το διαστημικό ταξίδι, καθώς και ο καθορισμός του τρόπου με τον οποίο τα φάρμακα αλληλεπιδρούν με το σώμα, ακόμα και τον τρόπο κατασκευής ασφαλέστερων δομών. Θα καταλάβετε γιατί ο υπολογισμός είναι χρήσιμος σε τόσους πολλούς τομείς, αν γνωρίζετε λίγο για την ιστορία του καθώς και για το τι είναι σχεδιασμένο να κάνει και να μετρήσει.

Λέξεις κλειδιά: Βασικό Θεώρημα του Λογισμού

Ο υπολογισμός αναπτύχθηκε στο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα από δύο μαθηματικούς, τον Gottfried Leibniz και τον Ισαάκ Νιούτον. Ο Newton αναπτύσσει για πρώτη φορά λογισμό και την εφαρμόζει άμεσα στην κατανόηση των φυσικών συστημάτων. Ανεξάρτητα, ο Leibniz ανέπτυξε τις σημειώσεις που χρησιμοποιήθηκαν στον λογισμό. Με απλά λόγια, ενώ τα βασικά μαθηματικά χρησιμοποιούν λειτουργίες όπως συν, μείον, χρόνοι και διαίρεση (+, -, x, και ÷), ο υπολογισμός χρησιμοποιεί λειτουργίες που χρησιμοποιούν λειτουργίες και ολοκληρώματα για τον υπολογισμό των ρυθμών μεταβολής.

Αυτά τα εργαλεία επέτρεψαν στον Newton, τον Leibniz και άλλους μαθηματικούς που ακολούθησαν να υπολογίσουν πράγματα όπως η ακριβής κλίση μιας καμπύλης σε οποιοδήποτε σημείο. Η Ιστορία των Μαθηματικών εξηγεί τη σημασία του θεμελιώδους θεώρημα του Νευτών για τον υπολογισμό:

"Σε αντίθεση με τη στατική γεωμετρία των Ελλήνων, ο υπολογισμός επέτρεψε στους μαθηματικούς και τους μηχανικούς να κατανοήσουν το κίνηση και δυναμική αλλαγή στον μεταβαλλόμενο κόσμο γύρω μας, όπως οι τροχιές των πλανητών, η κίνηση υγρών, και τα λοιπά."

Χρησιμοποιώντας λογισμό, επιστήμονες, αστρονόμοι, φυσικοί, μαθηματικοί και χημικοί θα μπορούσαν τώρα να καταγράψουν την τροχιά των πλανητών και των αστεριών, καθώς και την πορεία των ηλεκτρονίων και των πρωτονίων στο ατομικό επίπεδο.

Υπάρχουν δύο κλάδοι λογισμού: διαφορικός και ολοκληρωμένος υπολογισμός. "Ο διαφορικός υπολογισμός μελετά τις μελέτες των παραγώγων και των αναπόσπαστων λογισμάτων... το ολοκλήρωμα", σημειώνει το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης. Αλλά υπάρχει κάτι περισσότερο από αυτό. Ο διαφορικός υπολογισμός καθορίζει το ρυθμό μεταβολής μιας ποσότητας. Εξετάζει τους ρυθμούς αλλαγής των κλίσεων και των καμπυλών.

Ο κλάδος αυτός ασχολείται με τη μελέτη του ρυθμού μεταβολής των λειτουργιών σε σχέση με τις μεταβλητές τους, ιδίως μέσω της χρήσης παραγώγων και διαφορών. Το παράγωγο είναι η κλίση μιας γραμμής σε ένα γράφημα. Μπορείτε να βρείτε την κλίση μιας γραμμής υπολογίζοντας το αυξάνεται κατά τη διάρκεια της πορείας.

Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ, αντίθετα, επιδιώκει να βρει την ποσότητα όπου είναι γνωστός ο ρυθμός μεταβολής. Ο κλάδος επικεντρώνεται σε τέτοιες έννοιες όπως οι κλίσεις εφαπτόμενων γραμμών και ταχυτήτων. Ενώ ο διαφορικός υπολογισμός επικεντρώνεται στην ίδια την καμπύλη, ο ολοκληρωμένος υπολογισμός αφορά τον χώρο ή την περιοχή υπό την καμπύλη. Ο ενσωματωμένος υπολογισμός χρησιμοποιείται για να υπολογίσει το συνολικό μέγεθος ή την τιμή, όπως μήκη, περιοχές και όγκους.

Ο λογισμός διαδραμάτισε αναπόσπαστο ρόλο στην ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας στον 17ο και 18ο αιώνα, επειδή επέτρεπε στους ναυτικούς να χρησιμοποιούν τη θέση του φεγγαριού για τον ακριβή προσδιορισμό της τοπικής ώρας. Για να καταγράψουν τη θέση τους στη θάλασσα, οι πλοηγοί έπρεπε να είναι σε θέση να μετρήσουν τόσο το χρόνο όσο και τις γωνίες με ακρίβεια. Πριν από την ανάπτυξη του λογισμικού, οι ναυτικοί και οι πλοίαρχοι δεν μπορούσαν να κάνουν ούτε.

Ο υπολογισμός - τόσο παράγωγος όσο και ολοκληρωτικός - βοήθησε στη βελτίωση της κατανόησης αυτής της σημαντικής έννοιας όσον αφορά την καμπύλη της Γης, την τα απομακρυσμένα πλοία έπρεπε να ταξιδεύουν γύρω από μια καμπύλη για να φτάσουν σε μια συγκεκριμένη θέση, ακόμα και την ευθυγράμμιση της Γης, των θαλασσών και των πλοίων σε σχέση με την αστέρια.

Ο λογισμός έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές στην πραγματική ζωή. Κάποια από τα έννοιες που χρησιμοποιούν λογισμικό περιλαμβάνουν κίνηση, ηλεκτρισμό, θερμότητα, φως, αρμονικές, ακουστική και αστρονομία. Ο υπολογισμός χρησιμοποιείται στη γεωγραφία, την όραση στον υπολογιστή (όπως για την αυτόνομη οδήγηση αυτοκινήτων), τη φωτογραφία, την τεχνητή νοημοσύνη, τη ρομποτική, τα βιντεοπαιχνίδια και ακόμη και τις ταινίες. Ο υπολογισμός χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό των ποσοστών ραδιενεργού αποσύνθεσης στη χημεία και ακόμη και για την πρόβλεψη των ποσοστών γεννήσεων και θανάτων, καθώς και στη μελέτη της βαρύτητας και της πλανητικής κίνησης, της ροής υγρών, του σχεδιασμού του πλοίου, των γεωμετρικών καμπυλών και της μηχανικής γέφυρας.

Στη φυσική, για παράδειγμα, ο υπολογισμός χρησιμοποιείται για να καθορίσει, να εξηγήσει και να υπολογίσει την κίνηση, την ηλεκτρική ενέργεια, τη θερμότητα, το φως, τις αρμονικές, την ακουστική, την αστρονομία και τη δυναμική. Η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν βασίζεται στον λογισμό, ένα πεδίο των μαθηματικών που βοηθά επίσης τους οικονομολόγους να προβλέψουν πόσο κέρδος μπορεί να κάνει μια επιχείρηση ή μια βιομηχανία. Και στο ναυπηγική, ο υπολογισμός έχει χρησιμοποιηθεί για πολλά χρόνια για τον προσδιορισμό τόσο της καμπύλης του σκάφους του πλοίου (χρησιμοποιώντας τη διαφορά υπολογισμός), καθώς και την περιοχή κάτω από το κύτος (χρησιμοποιώντας ολοκληρωμένο λογισμό), ακόμη και στο γενικό σχεδιασμό του πλοία.

Επιπλέον, ο υπολογισμός χρησιμοποιείται για να ελέγξει τις απαντήσεις για διαφορετικά μαθηματικά πεδία, όπως στατιστικά στοιχεία, αναλυτική γεωμετρία και άλγεβρα.

Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν λογισμικό για να προβλέψουν την προσφορά, τη ζήτηση και τα μέγιστα δυνατά κέρδη. Η προσφορά και η ζήτηση είναι, τελικά, χαρτογραφημένα σε μια καμπύλη - και μια διαρκώς μεταβαλλόμενη καμπύλη σε αυτό.

Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν λογισμικό για να καθορίσουν το ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιμή. Αναφέρονται στην διαρκώς μεταβαλλόμενη καμπύλη προσφοράς και ζήτησης ως "ελαστική", και οι ενέργειες της καμπύλης ως "ελαστικότητα". Για να υπολογίσετε ένα ακριβές μέτρο ελαστικότητας σε ένα συγκεκριμένο σημείο σε καμπύλη προσφοράς ή ζήτησης, πρέπει να σκεφτείτε τις άπειρες μικρές μεταβολές της τιμής και ως εκ τούτου να ενσωματώσετε τα μαθηματικά παράγωγα στην ελαστικότητά σας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι. Ο υπολογισμός σας επιτρέπει να προσδιορίσετε συγκεκριμένα σημεία σε αυτή τη διαρκώς μεταβαλλόμενη καμπύλη προσφοράς και ζήτησης.

"Περίληψη Λογισμού". Massachusetts Institute of Technology, 10 Ιανουαρίου 2000, Cambridge, ΜΑ.