Ορισμός και χρήση της Ένωσης στα Μαθηματικά

Μια λειτουργία που χρησιμοποιείται συχνά για το σχηματισμό νέων συνόλων από παλιά ονομάζεται ένωση. Σε κοινή χρήση, η λέξη ένωση σημαίνει μια ένωση, όπως τα σωματεία στην οργανωμένη εργασία ή το Κράτος της Ένωσης διευθύνουν ότι οι ΗΠΑ Πρόεδρος κάνει πριν από μια κοινή σύνοδο του Κογκρέσου. Με τη μαθηματική έννοια, η ένωση των δύο συνόλων διατηρεί αυτήν την ιδέα της συνένωσης. Πιο συγκεκριμένα, η ένωση δύο συνόλων ΕΝΑ και σι είναι το σύνολο όλων των στοιχείων Χ έτσι Χ είναι ένα στοιχείο του σετ ΕΝΑ ή Χ είναι ένα στοιχείο του σετ σι. Η λέξη που σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε ένωση είναι η λέξη "ή".

Όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη "ή" σε καθημερινές συνομιλίες, ενδέχεται να μην συνειδητοποιήσουμε ότι αυτή η λέξη χρησιμοποιείται με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο τρόπος συνάγεται συνήθως από το πλαίσιο της συνομιλίας. Εάν ρωτήσατε «Θα θέλατε το κοτόπουλο ή τη μπριζόλα;» η συνήθης επίπτωση είναι ότι μπορεί να έχετε το ένα ή το άλλο, αλλά όχι και τα δύο. Αντιπαραβάλλετε αυτό με την ερώτηση, "Θα θέλατε βούτυρο ή ξινή κρέμα στην ψητή πατάτα σας;" Εδώ "ή" είναι χρησιμοποιείται με τη συνολική έννοια, καθώς θα μπορούσατε να επιλέξετε μόνο βούτυρο, μόνο ξινή κρέμα ή και βούτυρο και ξινό κρέμα.

Στα μαθηματικά, η λέξη "ή" χρησιμοποιείται με την έννοια χωρίς αποκλεισμούς. Έτσι, η δήλωση, "Χ είναι ένα στοιχείο του ΕΝΑ ή ένα στοιχείο του σι"σημαίνει ότι ένα από τα τρία είναι πιθανό:

• Χ είναι ένα στοιχείο του δίκαιου ΕΝΑ και όχι ένα στοιχείο του σι
• Χ είναι ένα στοιχείο του δίκαιου σι και όχι ένα στοιχείο του ΕΝΑ.
• Χ είναι ένα στοιχείο και των δύο ΕΝΑ και σι. (Θα μπορούσαμε επίσης να το πούμε αυτό Χ είναι ένα στοιχείο της τομής του ΕΝΑ και σι

Για ένα παράδειγμα του πώς η ένωση των δύο συνόλων σχηματίζει ένα νέο σύνολο, ας εξετάσουμε τα σετ ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Για να βρούμε την ένωση αυτών των δύο συνόλων, απλώς παραθέτουμε κάθε στοιχείο που βλέπουμε, προσέχοντας να μην επαναλάβουμε κανένα στοιχείο. Οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 βρίσκονται είτε στο ένα σετ είτε στο άλλο, επομένως η ένωση του ΕΝΑ και σι είναι {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Εκτός από την κατανόηση των εννοιών που αφορούν τις πράξεις της θεωρίας συνόλων, είναι σημαντικό να είστε σε θέση να διαβάσετε σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να δηλώσετε αυτές τις πράξεις. Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για την ένωση των δύο συνόλων ΕΝΑ και σι δίνεται από ΕΝΑ ∪ σι. Ένας τρόπος να θυμάστε το σύμβολο ∪ αναφέρεται στην ένωση είναι να παρατηρήσετε την ομοιότητά του με ένα κεφαλαίο U, που είναι συντομογραφία για τη λέξη «ένωση». Να είστε προσεκτικοί, γιατί το σύμβολο για ένωση είναι πολύ παρόμοιο με το σύμβολο για σημείο τομής. Το ένα λαμβάνεται από το άλλο με κάθετο flip.

Για να δείτε αυτήν τη σημειογραφία σε δράση, ανατρέξτε στο παραπάνω παράδειγμα. Εδώ είχαμε τα σετ ΕΝΑ = {1, 2, 3, 4, 5} και σι = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Έτσι θα γράφαμε την εξίσωση ΕΝΑ ∪ σι = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Μια βασική ταυτότητα που περιλαμβάνει την ένωση μας δείχνει τι συμβαίνει όταν παίρνουμε την ένωση οποιουδήποτε σετ με το άδειο σετ, που υποδηλώνεται με # 8709. Το κενό σύνολο είναι το σετ χωρίς στοιχεία. Επομένως, η συμμετοχή σε αυτό σε οποιοδήποτε άλλο σετ δεν θα έχει αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, η ένωση οποιουδήποτε σετ με το άδειο σετ θα μας δώσει το αρχικό σετ

Αυτή η ταυτότητα γίνεται ακόμη πιο συμπαγής με τη χρήση της σημειογραφίας μας. Έχουμε την ταυτότητα: ΕΝΑ ∪ ∅ = ΕΝΑ.

Για το άλλο άκρο, τι συμβαίνει όταν εξετάζουμε το ένωση ενός συνόλου με το καθολικό σύνολο; Δεδομένου ότι το καθολικό σύνολο περιέχει κάθε στοιχείο, δεν μπορούμε να προσθέσουμε τίποτα άλλο σε αυτό. Έτσι η ένωση ή οποιοδήποτε σύνολο με το καθολικό σύνολο είναι το καθολικό σύνολο.

Και πάλι η σημείωσή μας μας βοηθά να εκφράσουμε αυτήν την ταυτότητα σε πιο συμπαγή μορφή. Για οποιοδήποτε σετ ΕΝΑ και το καθολικό σύνολο Ε, ΕΝΑ ∪ Ε = Ε.

Υπάρχουν πολλές περισσότερες ταυτότητες που περιλαμβάνουν τη χρήση της συνδικαλιστικής επιχείρησης. Φυσικά, είναι πάντα καλό πρακτική χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της θεωρίας του συνόλου. Μερικά από τα πιο σημαντικά αναφέρονται παρακάτω. Για όλα τα σύνολα ΕΝΑ, και σι και ρε έχουμε:

• Αντανακλαστική ιδιότητα: ΕΝΑ ∪ ΕΝΑ =ΕΝΑ
• Ανταλλακτική ιδιότητα: ΕΝΑ ∪ σι = σι ∪ ΕΝΑ
• Συνεργατική ιδιοκτησία: (ΕΝΑ ∪ σι) ∪ ρε =ΕΝΑ ∪ (σι ∪ ρε)
• Νόμος I της DeMorgan: (ΕΝΑ ∩ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∪ σι^ντο
• Νόμος II της DeMorgan: (ΕΝΑ ∪ σι)^ντο = ΕΝΑ^ντο ∩ σι^ντο