Πιθανότητες και Ζάρια

Πολλά τυχερά παιχνίδια μπορούν να αναλυθούν χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά της πιθανότητας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε διάφορες πτυχές του παιχνιδιού που ονομάζεται Liar's Dice. Αφού περιγράψουμε αυτό το παιχνίδι, θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες που σχετίζονται με αυτό.

Το παιχνίδι των Dice Liar είναι στην πραγματικότητα μια οικογένεια παιχνιδιών που περιλαμβάνει μπλόφα και εξαπάτηση. Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές αυτού του παιχνιδιού και πηγαίνουν από πολλά διαφορετικά ονόματα όπως το Dice, το Dice και το Dude. Μια έκδοση αυτού του παιχνιδιού παρουσιάστηκε στην ταινία Πειρατές της Καραϊβικής: στήθος του νεκρού άνδρα.

Στην έκδοση του παιχνιδιού που θα εξετάσουμε, κάθε παίκτης έχει ένα κύπελλο και ένα σύνολο του ίδιου αριθμού ζαριών. Τα ζάρια είναι τυποποιημένα ζάρια με έξι πλευρές που αριθμούνται από έναν έως έξι. Όλοι κυλούν τα ζάρια τους, κρατώντας τα καλυμμένα από το κύπελλο. Την κατάλληλη στιγμή, ένας παίκτης κοιτάζει το σύνολο των ζαριών του, κρατώντας τα κρυμμένα από όλους τους άλλους. Το παιχνίδι έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε κάθε παίκτης να έχει τέλεια γνώση του δικού του ζαριού, αλλά δεν έχει γνώση των άλλων ζαριών που έχουν τυλιχθεί.

Αφού όλοι είχαν την ευκαιρία να δουν τα ζάρια που είχαν τυλιχτεί, αρχίζει η προσφορά. Σε κάθε στροφή ο παίκτης έχει δύο επιλογές: να κάνει υψηλότερη προσφορά ή να καλέσει την προηγούμενη προσφορά ψέμα. Οι προσφορές μπορούν να γίνουν υψηλότερες προσφέροντας υψηλότερη τιμή ζαριών από ένα έως έξι ή προσφέροντας μεγαλύτερο αριθμό από την ίδια τιμή των ζαριών.

Για παράδειγμα, θα μπορούσε να αυξηθεί η προσφορά "Τρία σεντ" με την ένδειξη "Τέσσερα δύο". Θα μπορούσε επίσης να αυξηθεί λέγοντας "Τρία τρία". Γενικά, ούτε ο αριθμός των ζαριών ούτε οι τιμές των ζαριών μπορούν να μειωθούν.

Δεδομένου ότι τα περισσότερα ζάρια είναι κρυμμένα από την άποψη, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς να υπολογίζουμε κάποιες πιθανότητες. Γνωρίζοντας αυτό είναι ευκολότερο να δείτε τι προσφορές είναι πιθανό να είναι αληθινές, και ποιες είναι πιθανό να είναι ψέματα.

Η πρώτη σκέψη είναι να ρωτήσετε: "Πόσα ζάρια του ίδιου είδους θα περιμέναμε;" Για παράδειγμα, αν πετύχουμε πέντε ζάρια, πόσοι από αυτούς θα περίμενε κανείς να είναι δύο; Η απάντηση σε αυτή την ερώτηση χρησιμοποιεί την ιδέα του αναμενόμενη αξία.

Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η πιθανότητα μιας συγκεκριμένης τιμής, πολλαπλασιασμένης με αυτήν την τιμή.

Η πιθανότητα ότι η πρώτη μήτρα είναι δύο είναι 1/6. Δεδομένου ότι τα ζάρια είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, η πιθανότητα ότι οποιοδήποτε από αυτά είναι δύο είναι 1/6. Αυτό σημαίνει ότι ο αναμενόμενος αριθμός των δύο τυλιγμάτων είναι 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Φυσικά, δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο για το αποτέλεσμα των δύο. Ούτε υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για τον αριθμό των ζαριών που εξετάσαμε. Αν έλαβα n ζάρια, τότε ο αναμενόμενος αριθμός οποιωνδήποτε έξι πιθανών αποτελεσμάτων είναι n/6. Αυτός ο αριθμός είναι καλός που πρέπει να γνωρίζουμε, διότι μας δίνει μια βασική γραμμή που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε όταν αμφισβητούμε προσφορές που γίνονται από άλλους.

Για παράδειγμα, αν παίζουμε ζάρια ψεύδους με έξι ζάρια, η αναμενόμενη τιμή οποιασδήποτε από τις τιμές 1 έως 6 είναι 6/6 = 1. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είμαστε σκεπτικοί εάν κάποιος προσφέρεται περισσότερο από ένα από οποιαδήποτε αξία. Μακροπρόθεσμα, θα υπολογίζουμε κατά μέσον όρο μία από τις πιθανές τιμές.

Ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε πέντε ζάρια και θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να κυλήσουμε δύο τρίχες. Η πιθανότητα ότι μια μήτρα είναι τρία είναι 1/6. Η πιθανότητα ότι μια μήτρα δεν είναι τρία είναι 5/6. Τα ρολά αυτών των ζαριών είναι ανεξάρτητα γεγονότα και έτσι πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες μαζί χρησιμοποιώντας το κανόνα πολλαπλασιασμού.

Η πιθανότητα ότι τα δύο πρώτα ζάρια είναι τρίτοι και τα άλλα ζάρια δεν είναι τρίχες δίνεται από το ακόλουθο προϊόν:

(1/6) χ (1/6) χ (5/6) χ (5/6) χ (5/6)

Τα δύο πρώτα ζάρια που είναι τρία είναι μόνο μια πιθανότητα. Τα ζάρια που είναι τρία θα μπορούσαν να είναι οποιεσδήποτε δύο από τις πέντε ζάρια που κυλίνουμε. Δηλώνουμε ένα πηνίο που δεν είναι τρία από ένα *. Ακολουθούν οι εξής τρόποι να έχετε δύο τρία από πέντε κύλινδροι:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Βλέπουμε ότι υπάρχουν δέκα τρόποι για να πετύχετε ακριβώς δύο τρία από πέντε ζάρια.

Τώρα πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητά μας παραπάνω με τους 10 τρόπους με τους οποίους μπορούμε να έχουμε αυτή τη διαμόρφωση ζαριών. Το αποτέλεσμα είναι 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Αυτό είναι περίπου 16%.

Τώρα γενικεύουμε το παραπάνω παράδειγμα. Θεωρούμε την πιθανότητα κύλισης n ζάρια και απόκτηση ακριβώς κ που έχουν κάποια αξία.

Όπως και πριν, η πιθανότητα να κυλήσουμε τον αριθμό που θέλουμε είναι 1/6. Η πιθανότητα μη κύλισης αυτού του αριθμού δίνεται από το συμπληρωματικός κανόνας ως 5/6. Θέλουμε κ των ζαριών μας να είναι ο επιλεγμένος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι n - κ είναι ένας αριθμός διαφορετικός από αυτόν που θέλουμε. Η πιθανότητα του πρώτου κ τα ζάρια είναι ένας ορισμένος αριθμός με τα άλλα ζάρια, όχι αυτός ο αριθμός είναι:

(1/6)^κ(5/6)^{n - κ}

Θα ήταν κουραστικό, για να μην αναφέρουμε χρονοβόρα, να απαριθμήσουμε όλους τους πιθανούς τρόπους για να κυλήσουμε μια συγκεκριμένη διαμόρφωση ζαριών. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε τις αρχές καταμέτρησης μας. Μέσω αυτών των στρατηγικών, βλέπουμε ότι μετράμε συνδυασμοί.

Υπάρχουν C (n, κ) τρόπους για να κυλήσετε κ από ένα συγκεκριμένο είδος ζαριών n ζάρια. Αυτός ο αριθμός δίνεται από τον τύπο n!/(κ!(n - κ)!)

Κάνοντας τα πάντα μαζί, το βλέπουμε όταν ρίχνουμε n ζάρια, η πιθανότητα ακριβώς κ από αυτούς είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός δίνεται από τον τύπο:

[n!/(κ!(n - κ)!)] (1/6)^{κ(5/6)n - κ}

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να εξεταστεί αυτό το είδος προβλήματος. Αυτό περιλαμβάνει την διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας που δόθηκε από Π = 1/6. Ο τύπος για ακριβώς κ των ζαριών αυτών είναι ένας ορισμένος αριθμός γνωστός ως η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για το διωνυμικό διανομή.

Μια άλλη περίπτωση που πρέπει να εξετάσουμε είναι η πιθανότητα να κυλήσουμε τουλάχιστον έναν ορισμένο αριθμό μιας συγκεκριμένης αξίας. Για παράδειγμα, όταν πετάμε πέντε ζάρια, ποια είναι η πιθανότητα να κυλήσουμε τουλάχιστον τρία; Θα μπορούσαμε να κυλήσουμε τρία, τέσσερα ή πέντε. Για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα που θέλουμε να βρούμε, προσθέτουμε τρεις πιθανότητες.

Παρακάτω έχουμε έναν πίνακα πιθανοτήτων για την απόκτηση ακριβώς κ μιας συγκεκριμένης αξίας όταν πετάμε πέντε ζάρια.

Στη συνέχεια, εξετάζουμε τον ακόλουθο πίνακα. Δίνει την πιθανότητα να κυλήσει τουλάχιστον έναν ορισμένο αριθμό μιας αξίας όταν πετάμε συνολικά πέντε ζάρια. Βλέπουμε ότι αν και είναι πολύ πιθανό να κυλήσει τουλάχιστον ένα 2, δεν είναι τόσο πιθανό να κυλήσει τουλάχιστον τέσσερα 2's.