Η συνάρτηση Δέλτα Dirac είναι το όνομα που δίνεται σε μια μαθηματική δομή που προορίζεται να αντιπροσωπεύει ένα εξιδανικευμένο αντικείμενο, όπως ένα σημείο μάζας ή σημείο φορτίο. Έχει ευρείες εφαρμογές μέσα στην κβαντική μηχανική και το υπόλοιπο κβαντική φυσική, όπως συνήθως χρησιμοποιείται στο κβαντικό λειτουργία κύματος. Η συνάρτηση δέλτα αναπαριστάται με το ελληνικό πεντάγραμμο σύμβολο δέλτα, γραμμένο ως συνάρτηση: δ (Χ).
Πώς λειτουργεί η Λειτουργία Δέλτα
Αυτή η παράσταση επιτυγχάνεται με τον ορισμό της συνάρτησης Δέλτα Dirac έτσι ώστε να έχει τιμή 0 παντού εκτός από την τιμή εισόδου 0. Σε αυτό το σημείο, αντιπροσωπεύει μια ακίδα που είναι απείρως υψηλή. Το ολοκλήρωμα που λαμβάνεται σε ολόκληρη τη γραμμή είναι ίσο με 1. Εάν έχετε μελετήσει τον λογισμό, πιθανότατα θα έχετε αντιμετωπίσει αυτό το φαινόμενο πριν. Λάβετε υπόψη ότι αυτή είναι μια έννοια που συνήθως εισάγεται στους μαθητές μετά από χρόνια σπουδών σε επίπεδο κολλεγίων στη θεωρητική φυσική.
Με άλλα λόγια, τα αποτελέσματα είναι τα ακόλουθα για την πιο βασική λειτουργία delta δ (
Χ), με μια μονοδιάστατη μεταβλητή Χ, για μερικές τυχαίες τιμές εισόδου:- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
Μπορείτε να αυξήσετε την κλίμακα της λειτουργίας πολλαπλασιάζοντας τη με μια σταθερά. Σύμφωνα με τους κανόνες λογισμού, ο πολλαπλασιασμός με μια σταθερή τιμή θα αυξήσει επίσης την τιμή του ολοκλήρου με αυτόν τον σταθερό παράγοντα. Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα του δ (Χ) σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς είναι 1, τότε πολλαπλασιάζοντας το με μια σταθερά θα είχε ένα νέο ολοκλήρωμα ίσο με αυτή τη σταθερά. Έτσι, για παράδειγμα, το 27δ (Χ) έχει ενσωματωμένο σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς των 27.
Ένα άλλο χρήσιμο πράγμα που πρέπει να λάβετε υπόψη είναι ότι επειδή η λειτουργία έχει μη μηδενική τιμή μόνο για μια είσοδο 0, τότε αν κοιτάτε ένα πλέγμα συντεταγμένων όπου το σημείο σας δεν ευθυγραμμίζεται δεξιά στο 0, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με μια έκφραση μέσα στην είσοδο της λειτουργίας. Επομένως, εάν θέλετε να εκπροσωπήσετε την ιδέα ότι το σωματίδιο βρίσκεται σε μια θέση Χ = 5, τότε θα γράψατε τη λειτουργία του δελτάδι Dirac ως δ (x - 5) = ∞ [δεδομένου ότι δ (5 - 5) = ∞].
Εάν στη συνέχεια θέλετε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη λειτουργία για να αντιπροσωπεύσετε μια σειρά σημειακών σωματιδίων μέσα σε ένα κβαντικό σύστημα, μπορείτε να το κάνετε προσθέτοντας διάφορες λειτουργίες δέλτα dirac. Για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, μια συνάρτηση με τα σημεία στα x = 5 και x = 8 μπορεί να αναπαρασταθεί ως δ (x - 5) + δ (x - 8). Αν στη συνέχεια πήρατε ένα αναπόσπαστο μέρος αυτής της λειτουργίας πάνω από όλους τους αριθμούς, θα παίρνατε ένα ενιαίο αυτό αντιπροσωπεύει πραγματικούς αριθμούς, παρόλο που οι λειτουργίες είναι 0 σε όλες τις θέσεις εκτός από τις δύο εκεί όπου υπάρχει είναι σημεία. Αυτή η έννοια μπορεί στη συνέχεια να επεκταθεί ώστε να αντιπροσωπεύει έναν χώρο με δύο ή τρεις διαστάσεις (αντί της μονοδιάστατης περίπτωσης που χρησιμοποίησα στα παραδείγματα μου).
Πρόκειται για μια σύντομη εισαγωγή σε ένα πολύ περίπλοκο θέμα. Το βασικό πράγμα που πρέπει να συνειδητοποιήσουμε είναι ότι η λειτουργία του δέλτα Dirac βασικά υπάρχει με μοναδικό σκοπό να καταστήσει νόημα την ολοκλήρωση της λειτουργίας. Όταν δεν υπάρχει καθόλου αναπόσπαστο μέρος, η παρουσία της λειτουργίας Δέλτα του Dirac δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη. Αλλά στη φυσική, όταν πρόκειται για τη μετάβαση από μια περιοχή χωρίς σωματίδια που ξαφνικά υπάρχουν σε ένα μόνο σημείο, είναι αρκετά χρήσιμη.
Πηγή της Λειτουργίας Δέλτα
Στο βιβλίο του του 1930, Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής, Αγγλικός θεωρητικός φυσικός Paul Dirac έθεσε τα βασικά στοιχεία της κβαντικής μηχανικής, συμπεριλαμβανομένης της σημειογραφίας και της δουλειάς του Delta. Αυτές έγιναν συνήθεις έννοιες στον τομέα της κβαντικής μηχανικής στο πλαίσιο του Εξίσωση Schrodinger.