Μαθηματικά διάνυσμα: Μια βασική αλλά περιεκτική εισαγωγή

click fraud protection

Αυτή είναι μια βασική, αν και ελπίζουμε αρκετά ολοκληρωμένη εισαγωγή στην εργασία με φορείς. Οι φορείς εκδηλώνονται με μεγάλη ποικιλία τρόπων από την εκτόπιση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση στις δυνάμεις και τα πεδία. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στα μαθηματικά των διανυσμάτων. η εφαρμογή τους σε συγκεκριμένες καταστάσεις θα αντιμετωπιστεί αλλού.

Φορείς και κλιλάκια

ΕΝΑ διανυσματική ποσότητα, ή διάνυσμα, παρέχει πληροφορίες όχι μόνο για το μέγεθος αλλά και για την κατεύθυνση της ποσότητας. Όταν στέλνετε οδηγίες σε ένα σπίτι, δεν αρκεί να πείτε ότι είναι 10 μίλια μακριά, αλλά η κατεύθυνση αυτών των 10 μιλίων πρέπει επίσης να παρέχεται για να είναι χρήσιμες οι πληροφορίες. Οι μεταβλητές που είναι φορείς θα επισημαίνονται με μεταβλητή έντονη γραφή, αν και είναι σύνηθες να βλέπουμε διανύσματα που σημειώνονται με μικρά βέλη πάνω από τη μεταβλητή.

Ακριβώς όπως δεν λέμε ότι το άλλο σπίτι είναι -10 μίλια μακριά, το μέγεθος ενός διανύσματος είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, ή μάλλον η απόλυτη τιμή του "μήκους" του φορέα (αν και το η ποσότητα μπορεί να μην είναι ένα μήκος, μπορεί να είναι ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κλπ.). Ένα αρνητικό μπροστά από ένα διάνυσμα δεν υποδεικνύει μια αλλαγή στο μέγεθος, αλλά μάλλον προς την κατεύθυνση του διάνυσμα.

instagram viewer

Στα παραπάνω παραδείγματα, η απόσταση είναι η κλιμακωτή ποσότητα (10 μίλια) αλλά μετατόπιση είναι η διανυσματική ποσότητα (10 μίλια βορειοανατολικά). Ομοίως, η ταχύτητα είναι μια κλιμακωτή ποσότητα ενώ η ταχύτητα είναι a διάνυσμα ποσότητα.

ΕΝΑ φορέα μονάδας είναι ένας φορέας που έχει ένα μέγεθος. Ένας φορέας που αντιπροσωπεύει έναν φορέα μονάδας είναι επίσης συνήθως τολμηρό, αν και θα έχει ένα καράτι (^) πάνω από αυτό για να δείξει τη μοναδιαία φύση της μεταβλητής. Ο φορέας μονάδας Χ, όταν είναι γραμμένο με καράτι, διαβάζεται γενικά ως "x-hat" επειδή το καράτι μοιάζει κάπως σαν καπέλο στη μεταβλητή.

ο μηδενικός φορέας, ή null φορέα, είναι ένας φορέας με μηδενικό μέγεθος. Είναι γραμμένο ως 0 σε αυτό το άρθρο.

Στοιχεία διάνυσμα

Οι φορείς είναι γενικά προσανατολισμένοι σε ένα σύστημα συντεταγμένων, το πιο δημοφιλές από το οποίο είναι το δισδιάστατο καρτεσιανό επίπεδο. Το καρτεσιανό επίπεδο έχει έναν οριζόντιο άξονα ο οποίος φέρει την ένδειξη x και έναν κατακόρυφο άξονα με την ένδειξη y. Ορισμένες προηγμένες εφαρμογές φορέων στη φυσική απαιτούν τη χρήση ενός τρισδιάστατου χώρου, στον οποίο οι άξονες είναι x, y και z. Αυτό το άρθρο θα ασχοληθεί κυρίως με το δισδιάστατο σύστημα, αν και οι έννοιες μπορούν να επεκταθούν με κάποια φροντίδα σε τρεις διαστάσεις χωρίς πολύ κόπο.

Οι διανύσματα σε συστήματα συντεταγμένων πολλαπλών διαστάσεων μπορούν να διαλυθούν σε αυτά φορέων συνιστωσών. Στην δισδιάστατη περίπτωση, αυτό οδηγεί σε a x-component και ένα y-component. Κατά το σπάσιμο ενός φορέα στα συστατικά του, ο φορέας είναι ένα άθροισμα των συστατικών:

φά = φάΧ + φάy

θήταφάΧφάyφά

φάΧ / φά = cos θήτα και φάy / φά = αμαρτία θήταπου μας δίνει
φάΧ
= φά cos θήτα και φάy = φά αμαρτία θήτα

Σημειώστε ότι οι αριθμοί εδώ είναι τα μεγέθη των διανυσμάτων. Γνωρίζουμε την κατεύθυνση των εξαρτημάτων, αλλά προσπαθούμε να βρούμε το μέγεθος τους, έτσι αφαιρούμε τις κατευθυντήριες πληροφορίες και εκτελούμε αυτούς τους κλιμακωτούς υπολογισμούς για να υπολογίσουμε το μέγεθος. Περαιτέρω εφαρμογή της τριγωνομετρίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθούν άλλες σχέσεις (όπως η εφαπτομένη) που σχετίζονται με ορισμένες από αυτές τις ποσότητες, αλλά νομίζω ότι είναι αρκετό για τώρα.

Για πολλά χρόνια, τα μόνα μαθηματικά που μαθαίνει ένας σπουδαστής είναι τα κλιματικά μαθηματικά. Αν ταξιδεύετε 5 μίλια βόρεια και 5 μίλια ανατολικά, έχετε ταξιδέψει 10 μίλια. Η προσθήκη κλιμακωτών ποσοτήτων αγνοεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις οδηγίες.

Οι φορείς διαχειρίζονται κάπως διαφορετικά. Η κατεύθυνση πρέπει πάντα να λαμβάνεται υπόψη κατά το χειρισμό τους.

Προσθήκη στοιχείων

Όταν προσθέτετε δύο διανύσματα, είναι σαν να έχετε πάρει τα διανύσματα και να τα τοποθετήσετε στο τέλος και να δημιουργήσετε ένα νέο διάνυσμα που τρέχει από το σημείο εκκίνησης έως το τελικό σημείο. Εάν οι φορείς έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε αυτό σημαίνει μόνο να προσθέσετε τα μεγέθη, αλλά αν έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις, μπορεί να γίνει πιο περίπλοκο.

Προσθέτετε διανύσματα διαγράφοντάς τα στα συστατικά τους και στη συνέχεια προσθέτοντας τα στοιχεία, όπως παρακάτω:

ένα + σι = ντο
έναΧ
+ έναy + σιΧ + σιy =
( έναΧ + σιΧ) + ( έναy + σιy) = ντοΧ + ντοy

Τα δύο x-εξαρτήματα θα έχουν ως αποτέλεσμα το συστατικό x της νέας μεταβλητής, ενώ τα δύο y-εξαρτήματα θα έχουν ως αποτέλεσμα το στοιχείο y της νέας μεταβλητής.

Ιδιότητες της προσθήκης του φορέα

Η σειρά με την οποία προσθέτετε τους διανύσματα δεν έχει σημασία. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές ιδιότητες από την κλιμάκωση της προσθήκης διανυσμάτων:

Ιδιότητα ταυτότητας της προσθήκης διανυσμάτων
ένα
+ 0 = ένα
Αντίστροφη ιδιότητα προσθήκης διανυσμάτων
ένα
+ -ένα = ένα - ένα = 0
Αντανακλαστική ιδιότητα προσθήκης διανυσμάτων
ένα
= ένα
Επαναστατική ιδιότητα
της προσθήκης του φορέα
ένα
+ σι = σι + ένα
Συγκριτική ιδιότητα προσθήκης διανυσμάτων

(ένα + σι) + ντο = ένα + (σι + ντο)
Μεταβατική ιδιότητα προσθήκης διανυσμάτων

Αν ένα = σι και ντο = σι, έπειτα ένα = ντο

Η απλούστερη λειτουργία που μπορεί να εκτελεστεί σε ένα διάνυσμα είναι να πολλαπλασιαστεί με ένα κλιμακωτό. Αυτός ο βαθμιαίος πολλαπλασιασμός μεταβάλλει το μέγεθος του φορέα. Με άλλα λόγια, κάνει το διάνυσμα μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Όταν ο πολλαπλασιασμός των χρόνων είναι αρνητικός, ο φορέας που προκύπτει θα δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

ο κλιμακωτό προϊόν των δύο διανυσμάτων είναι ένας τρόπος να πολλαπλασιαστούν μαζί για να αποκτήσουν μια κλιμακωτή ποσότητα. Αυτό γράφεται ως πολλαπλασιασμός των δύο διανυσμάτων, με μια τελεία στη μέση που αντιπροσωπεύει τον πολλαπλασιασμό. Ως εκ τούτου, ονομάζεται συχνά dot προϊόν δύο φορέων.

Για να υπολογίσετε το προϊόν κουκίδων δύο διανυσμάτων, θεωρείτε τη γωνία μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, αν συμμεριζόταν το ίδιο σημείο εκκίνησης, ποια θα ήταν η μέτρηση της γωνίας (θήτα) μεταξυ τους. Το προϊόν κουκκίδων ορίζεται ως:

ένα * σι = ab cos θήτα

abπατήρ

Σε περιπτώσεις όπου οι φορείς είναι κάθετοι (ή θήτα = 90 μοίρες), cos θήτα θα είναι μηδέν. Επομένως, το προϊόν κουκίδων των κάθετων διανυσμάτων είναι πάντα μηδενικό. Όταν είναι οι φορείς παράλληλοθήτα = 0 μοίρες), cos θήτα είναι 1, οπότε το κλιμακωτό προϊόν είναι μόνο το προϊόν των μεγεθών.

Αυτά τα απλά μικρά γεγονότα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν ότι αν γνωρίζετε τα συστατικά, μπορείτε να εξαλείψετε την ανάγκη για theta εξ ολοκλήρου με την (δισδιάστατη) εξίσωση:

ένα * σι = έναΧ σιΧ + έναy σιy

ο προϊόν διάνυσμα είναι γραμμένο στη φόρμα ένα Χ σι, και ονομάζεται συνήθως cross προϊόν δύο φορέων. Σε αυτή την περίπτωση, πολλαπλασιάζουμε τους φορείς και αντί να πάρουμε μια κλιμακωτή ποσότητα, θα έχουμε μια διανυσματική ποσότητα. Αυτός είναι ο πιο δύσκολος υπολογισμός των διανυσμάτων που θα ασχοληθούμε, όπως είναι δεν commutative και περιλαμβάνει τη χρήση των φοβερό δεξί κανόνα, την οποία θα φτάσω σύντομα.

Υπολογισμός του μεγέθους

Και πάλι, θεωρούμε δύο φορείς που προέρχονται από το ίδιο σημείο, με τη γωνία θήτα μεταξυ τους. Πάντα παίρνουμε τη μικρότερη γωνία, έτσι θήτα θα είναι πάντοτε από 0 έως 180 και το αποτέλεσμα δεν θα είναι ποτέ αρνητικό. Το μέγεθος του προκύπτοντος φορέα προσδιορίζεται ως εξής:

Αν ντο = ένα Χ σι, έπειτα ντο = ab αμαρτία θήτα

Το προϊόν φορέα παράλληλων (ή αντιπαράλληλων) φορέων είναι πάντα μηδενικό

Κατεύθυνση του διάνυσμα

Το προϊόν φορέα θα είναι κάθετο προς το επίπεδο που δημιουργείται από αυτούς τους δύο φορείς. Αν αντιληφθείτε ότι το αεροπλάνο είναι επίπεδο πάνω σε ένα τραπέζι, τότε τίθεται το ερώτημα εάν ο φορέας που προκύπτει θα πάει ("έξω" από το τραπέζι, από τη δική μας οπτική γωνία) ή κάτω (ή "στο" τραπέζι, από μας) προοπτική).

Ο Κανόνας Δεξιού Δεξιού Χεριού

Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να εφαρμόσετε αυτό που ονομάζεται δεξί κανόνα. Όταν σπούδασα τη φυσική στο σχολείο, εγώ απογοητευμένοι τον κανόνα του δεξιού χεριού. Κάθε φορά που το χρησιμοποίησα, έπρεπε να βγάλω το βιβλίο για να δούμε πώς λειτουργούσε. Ας ελπίσουμε ότι η περιγραφή μου θα είναι λίγο πιο έξυπνη από αυτή στην οποία ήμουν γνωστός.

Εάν έχετε ένα Χ σι θα τοποθετήσετε το δεξί σας χέρι κατά μήκος του σι έτσι ώστε τα δάκτυλά σας (εκτός από τον αντίχειρα) να μπορούν να καμπυλώσουν προς τα κάτω ένα. Με άλλα λόγια, προσπαθείτε να κάνετε τη γωνία θήτα ανάμεσα στην παλάμη και τα τέσσερα δάχτυλα του δεξί σας χεριού. Ο αντίχειρας, στην περίπτωση αυτή, θα κολλήσει κατ 'ευθείαν επάνω (ή έξω από την οθόνη, αν προσπαθήσετε να το κάνετε μέχρι τον υπολογιστή). Οι αρθρώσεις σας θα είναι περίπου ευθυγραμμισμένες με το σημείο εκκίνησης των δύο διανυσμάτων. Η ακρίβεια δεν είναι απαραίτητη, αλλά θέλω να πάρετε την ιδέα αφού δεν έχω εικόνα για αυτό.

Εάν, ωστόσο, σκέφτεστε σι Χ ένα, θα κάνετε το αντίθετο. Θα βάλεις το δεξί σου χέρι ένα και δείξτε τα δάχτυλά σας σι. Εάν προσπαθήσετε να το κάνετε αυτό στην οθόνη του υπολογιστή, θα το βρείτε αδύνατο, έτσι χρησιμοποιήστε τη φαντασία σας. Θα διαπιστώσετε ότι, στην περίπτωση αυτή, ο ευφυής αντίχειρας σας δείχνει στην οθόνη του υπολογιστή. Αυτή είναι η κατεύθυνση του προκύπτοντος φορέα.

Ο κανόνας δεξιά δείχνει την ακόλουθη σχέση:

ένα Χ σι = - σι Χ ένα

cabc

ντοΧ = έναy σιz - έναz σιy
ντοy
= έναz σιΧ - έναΧ σιz
ντοz
= έναΧ σιy - έναy σιΧ

abντοΧντοyντο

Τελικές λέξεις

Σε υψηλότερα επίπεδα, οι φορείς μπορούν να αποκτήσουν εξαιρετικά πολύπλοκες λειτουργίες. Ολόκληρα μαθήματα στο κολλέγιο, όπως η γραμμική άλγεβρα, αφιερώνουν πολύ χρόνο στις μήτρες (τις οποίες αποφεύγω ευγενικά σε αυτή την εισαγωγή), φορείς και διανυσματικούς χώρους. Αυτό το επίπεδο λεπτομέρειας είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου, αλλά αυτό θα πρέπει να παρέχει τα θεμέλια που είναι απαραίτητα για το μεγαλύτερο μέρος του φορέα χειραγώγησης που εκτελείται στην τάξη φυσικής. Εάν σκοπεύετε να μελετήσετε τη φυσική σε μεγαλύτερο βάθος, θα εισαχθείτε στις πιο περίπλοκες έννοιες φορέα καθώς προχωράτε μέσα από την εκπαίδευσή σας.

instagram story viewer