Στην πιθανότητα δύο γεγονότα λέγεται ότι είναι αμοιβαία αποκλειστικά αν και μόνο αν τα γεγονότα δεν έχουν κοινά αποτελέσματα. Αν θεωρήσουμε τα γεγονότα ως σύνολο, τότε θα λέγαμε ότι δύο γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειστικά όταν η διασταύρωσή τους είναι η άδειο σετ. Θα μπορούσαμε να υποδηλώσουμε αυτά τα γεγονότα ΕΝΑ και σι είναι αμοιβαία αποκλεισμένοι από τον τύπο ΕΝΑ ∩ σι = Ø. Όπως συμβαίνει με πολλές έννοιες από την πιθανότητα, μερικά παραδείγματα θα συμβάλουν στην κατανόηση αυτού του ορισμού.
Κύλινδρος ζάρια
Ας υποθέσουμε ότι εμείς ρίξτε δύο ζάρια με έξι πλευρές και προσθέστε τον αριθμό των κουκκίδων που εμφανίζονται στην κορυφή των ζαριών. Η εκδήλωση που αποτελείται από "το άθροισμα είναι ακόμη" είναι αμοιβαία αποκλειστική από την εκδήλωση "το άθροισμα είναι περίεργο". Ο λόγος για αυτό είναι επειδή δεν υπάρχει τρόπος για έναν αριθμό να είναι ομοιόμορφος και περίεργος.
Τώρα θα διεξαγάγουμε το ίδιο πείραμα πιθανότητας να κυλήσουμε δύο ζάρια και να προσθέσουμε τους αριθμούς που παρουσιάζονται μαζί. Αυτή τη φορά θα εξετάσουμε το γεγονός που αποτελείται από ένα περιττό άθροισμα και το γεγονός που αποτελείται από ένα ποσό μεγαλύτερο από εννέα. Αυτά τα δύο γεγονότα δεν είναι αμοιβαία αποκλειστικά.
Ο λόγος είναι εμφανής όταν εξετάζουμε τα αποτελέσματα των γεγονότων. Το πρώτο γεγονός έχει αποτελέσματα 3, 5, 7, 9 και 11. Το δεύτερο συμβάν έχει αποτελέσματα 10, 11 και 12. Δεδομένου ότι το 11 είναι και στα δύο, τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται.
Σχεδίαση καρτών
Εξηγούμε περαιτέρω με ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε σχεδιάσει μια κάρτα από ένα τυποποιημένο κατάστρωμα 52 καρτών. Η σχεδίαση μιας καρδιάς δεν είναι αμοιβαία αποκλειστική για την εκδήλωση ενός βασιλιά. Αυτό συμβαίνει επειδή υπάρχει μια κάρτα (ο βασιλιάς των καρδιών) που εμφανίζεται και στα δύο αυτά γεγονότα.
Γιατί έχει σημασία
Υπάρχουν φορές που είναι πολύ σημαντικό να καθοριστεί αν δύο γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειστικά ή όχι. Το να γνωρίζουμε αν δύο γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειστικά επηρεάζει τον υπολογισμό της πιθανότητας να συμβεί το ένα ή το άλλο.
Πηγαίνετε πίσω στο παράδειγμα της κάρτας. Εάν τραβήξουμε μία κάρτα από ένα πρότυπο κατάστρωμα 52 φύλλων, ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε τραβήξει μια καρδιά ή έναν βασιλιά;
Πρώτον, σπάστε αυτό σε μεμονωμένα γεγονότα. Για να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε τραβήξει μια καρδιά, πρώτα υπολογίζουμε τον αριθμό των καρδιών στο κατάστρωμα ως 13 και στη συνέχεια διαιρούμε με τον συνολικό αριθμό καρτών. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα μιας καρδιάς είναι 13/52.
Για να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε τραβήξει ένα βασιλιά ξεκινάμε μετρώντας τον συνολικό αριθμό των βασιλέων, με αποτέλεσμα τα τέσσερα, και το επόμενο χάσμα με τον συνολικό αριθμό των καρτών, που είναι 52. Η πιθανότητα ότι έχουμε σχεδιάσει έναν βασιλιά είναι 4/52.
Το πρόβλημα είναι τώρα να βρούμε την πιθανότητα να σχεδιάσουμε είτε έναν βασιλιά είτε μια καρδιά. Εδώ πρέπει να είμαστε προσεκτικοί. Είναι πολύ δελεαστικό να προσθέτουμε απλώς τις πιθανότητες 13/52 και 4/52. Αυτό δεν θα ήταν σωστό επειδή τα δύο γεγονότα δεν είναι αμοιβαία αποκλειστικά. Ο βασιλιάς των καρδιών μετρήθηκε δύο φορές σε αυτές τις πιθανότητες. Για να αντισταθμιστεί η διπλή μέτρηση, πρέπει να αφαιρέσουμε την πιθανότητα να σχεδιάσουμε έναν βασιλιά και μια καρδιά, η οποία είναι 1/52. Επομένως, η πιθανότητα που έχουμε τραβήξει είτε βασιλιά είτε καρδιά είναι 16/52.
Άλλες χρήσεις των Αμοιβαία Αποκλειστικών
Ένας τύπος γνωστός ως κανόνα προσθήκης δίνει έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης ενός προβλήματος όπως το παραπάνω. Ο κανόνας προσθήκης αναφέρεται πράγματι σε δύο τύπους που είναι στενά συνδεδεμένοι μεταξύ τους. Πρέπει να γνωρίζουμε εάν τα γεγονότα μας είναι αμοιβαία αποκλειστικά προκειμένου να γνωρίζουμε ποια φόρμουλα προσθήκης είναι κατάλληλη για χρήση.