Ποια είναι η σκοτεινότητα μιας εκθετικής διανομής;

Κοινός Παράμετροι Για κατανομή πιθανότητας περιλαμβάνει τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ο μέσος όρος δίνει μια μέτρηση του κέντρου και η τυπική απόκλιση δείχνει τον τρόπο εξάπλωσης της κατανομής. Εκτός από αυτές τις γνωστές παραμέτρους, υπάρχουν και άλλες που εφιστούν την προσοχή σε άλλα χαρακτηριστικά εκτός από την εξάπλωση ή το κέντρο. Μια τέτοια μέτρηση είναι αυτή της skewness. Το Skewness δίνει έναν τρόπο να προσδώσει μια αριθμητική αξία στην ασυμμετρία μιας κατανομής.

Μια σημαντική διανομή που θα εξετάσουμε είναι η εκθετική κατανομή. Θα δούμε πώς να αποδείξουμε ότι η λανθάνουσα εκθετική κατανομή είναι 2.

Ξεκινάμε αναφέροντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για μια εκθετική κατανομή. Αυτές οι κατανομές έχουν έκαστη μια παράμετρο, η οποία σχετίζεται με την παράμετρο από τις σχετικές Διαδικασία Poisson. Δηλώνουμε αυτή την κατανομή ως Exp (A), όπου Α είναι η παράμετρος. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για αυτή τη διανομή είναι:

φά(Χ) = μι^-Χ/ΕΝΑ/ Α, όπου Χ είναι μη αρνητικό.

Εδώ μι είναι η μαθηματική συνεχής μι δηλαδή περίπου 2.718281828. Η μέση και τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής Exp (A) σχετίζονται και οι δύο με την παράμετρο Α. Στην πραγματικότητα, η μέση και η τυπική απόκλιση είναι και οι δύο ίσες με το Α.

Η σκοτεινότητα ορίζεται από μια έκφραση που σχετίζεται με την τρίτη στιγμή σχετικά με τον μέσο όρο. Αυτή η έκφραση είναι η αναμενόμενη τιμή:

Ε [(Χ - μ)³/σ³] = (Ε [Χ³] - 3μ Ε [Χ²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (Ε [Χ³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Αντικαταστήσαμε μ και σ με A, και το αποτέλεσμα είναι ότι η λανθάνουσα κατάσταση είναι E [X³] / ΕΝΑ³ – 4.

Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσει το τρίτο στιγμή σχετικά με την προέλευση. Για το σκοπό αυτό πρέπει να ενσωματώσουμε τα εξής:

∫^∞₀Χ³φά(Χ) δΧ.

Αυτό το ενιαίο έχει ένα άπειρο για ένα από τα όριά του. Έτσι μπορεί να αξιολογηθεί ως ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα τύπου Ι. Πρέπει επίσης να καθορίσουμε ποια τεχνική ενσωμάτωσης πρέπει να χρησιμοποιήσει. Δεδομένου ότι η συνάρτηση για την ενσωμάτωση είναι το προϊόν μιας πολυωνυμικής και εκθετικής συνάρτησης, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ενσωμάτωση με εξαρτήματα. Αυτή η τεχνική ενσωμάτωσης εφαρμόζεται πολλές φορές. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ότι:

ΠΡΩΗΝ³] = 6Α³

Στη συνέχεια, συνδυάζουμε αυτό με την προηγούμενη εξίσωση μας για την λανθάνουσα κατάσταση. Βλέπουμε ότι η λανθάνουσα τάση είναι 6 - 4 = 2.

Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από τη συγκεκριμένη εκθετική διανομή που αρχίζουμε με. Η λανθάνουσα τάση της εκθετικής κατανομής δεν βασίζεται στην τιμή της παραμέτρου Α.

Επιπλέον, βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η διανομή είναι στραμμένη προς τα δεξιά. Αυτό δεν πρέπει να αποτελεί έκπληξη καθώς σκεφτόμαστε το σχήμα του γραφήματος της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Όλες αυτές οι κατανομές έχουν y-διακένωση ως 1 // theta και μια ουρά που πηγαίνει στην άκρα δεξιά της γραφικής παράστασης, που αντιστοιχεί σε υψηλές τιμές της μεταβλητής Χ.

Φυσικά, πρέπει επίσης να αναφέρουμε ότι υπάρχει ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό της λανθάνοντος. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής για την εκθετική κατανομή. Το πρώτο παράγωγο του λειτουργία δημιουργίας στιγμών που εκτιμάται στο 0 μας δίνει E [X]. Ομοίως, το τρίτο παράγωγο της συνάρτησης δημιουργίας στιγμής όταν εκτιμάται στο 0 μας δίνει Ε (Χ³].