Μέγεθος δείγματος για περιθώριο σφάλματος στα στατιστικά στοιχεία

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης βρίσκονται στο θέμα των στατιστικών συμπερασμάτων. Η γενική μορφή ενός τέτοιου διαστήματος εμπιστοσύνης είναι μια εκτίμηση, συν ή πλην περιθωρίου σφάλματος. Ένα παράδειγμα αυτού είναι σε μια δημοσκόπηση στην οποία η υποστήριξη για ένα ζήτημα μετριέται σε ένα ορισμένο ποσοστό, συν ή πλην ενός δεδομένου ποσοστού.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι όταν δηλώνουμε ότι σε ένα ορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης, ο μέσος όρος είναι xτ +/- μι, που μι είναι το περιθώριο λάθους. Αυτό το εύρος τιμών οφείλεται στη φύση των στατιστικών διαδικασιών που γίνονται, αλλά στην υπολογισμό του περιθωρίου σφάλματος βασίζεται σε μια αρκετά απλή φόρμουλα.

Αν και μπορούμε να υπολογίσουμε το περιθώριο σφάλματος απλά γνωρίζοντας το το μέγεθος του δείγματος, την τυπική απόκλιση του πληθυσμού και την επιθυμητή μας επίπεδο εμπιστοσύνης, μπορούμε να αναστρέψουμε την ερώτηση γύρω. Ποιο θα πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος μας ώστε να εγγυηθεί ένα συγκεκριμένο περιθώριο σφάλματος;

Αυτό το είδος βασικού ερωτήματος εμπίπτει στην ιδέα του πειραματικού σχεδιασμού. Για ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης, μπορούμε να έχουμε ένα μέγεθος δείγματος τόσο μεγάλο όσο και μικρό όσο θέλουμε. Υποθέτοντας ότι η τυπική απόκλιση παραμένει σταθερή, το περιθώριο σφάλματος είναι ευθέως ανάλογο με το κρίσιμο (η οποία βασίζεται στο επίπεδο εμπιστοσύνης μας) και αντιστρόφως ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του δείγματος Μέγεθος.

Το περιθώριο του τύπου σφάλματος έχει πολλές συνέπειες για το πώς σχεδιάζουμε το στατιστικό μας πείραμα:

• Όσο μικρότερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο μεγαλύτερο είναι το περιθώριο σφάλματος.
• Για να διατηρήσουμε το ίδιο περιθώριο σφάλματος σε υψηλότερο επίπεδο εμπιστοσύνης, θα πρέπει να αυξήσουμε το μέγεθος του δείγματος μας.
• Αφήνοντας οτιδήποτε άλλο ίσο, για να μειώσουμε το περιθώριο λάθους στο μισό, θα πρέπει να τετραπλασιάσουμε το μέγεθος του δείγματος μας. Ο διπλασιασμός του μεγέθους δείγματος θα μειώσει μόνο το αρχικό περιθώριο σφάλματος κατά περίπου 30%.

Για να υπολογίσουμε τι μέγεθος δείγματος πρέπει να είναι, μπορούμε απλά να ξεκινήσουμε με τον τύπο περιθωρίου σφάλματος και να το επιλύσουμε n το μέγεθος του δείγματος. Αυτό μας δίνει τον τύπο n = (z_α/2σ/μι)².

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα για το πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το επιθυμητό το μέγεθος του δείγματος.

Η τυπική απόκλιση για έναν πληθυσμό 11ου γκρέιντερ για μια τυποποιημένη δοκιμή είναι 10 μονάδες. Πόσο μεγάλο είναι ένα δείγμα μαθητών που πρέπει να διασφαλίσουμε σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ότι το μέσο δείγμα μας είναι μέσα σε ένα σημείο του πληθυσμού;

Η κρίσιμη τιμή για αυτό το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι z_α/2 = 1.64. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό αυτό με την τυπική απόκλιση 10 για να λάβετε 16.4. Τώρα τετράγωνο αυτόν τον αριθμό για να έχει μέγεθος δείγματος 269.

Υπάρχουν μερικά πρακτικά θέματα που πρέπει να εξεταστούν. Η μείωση του επιπέδου εμπιστοσύνης θα μας δώσει ένα μικρότερο περιθώριο σφάλματος. Ωστόσο, αυτό θα σημαίνει ότι τα αποτελέσματά μας είναι λιγότερο σίγουρα. Η αύξηση του μεγέθους του δείγματος θα μειώνει πάντα το περιθώριο σφάλματος. Μπορεί να υπάρχουν άλλοι περιορισμοί, όπως το κόστος ή η σκοπιμότητα, που δεν μας επιτρέπουν να αυξήσουμε το μέγεθος του δείγματος.